欧几里德算法又称辗转相除法, 用于计算两个整数a, b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理:
定理: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
证明:
a可以表示成a = kb + r, 则r = a mod b
假设d是a, b的一个公约数, 则有 d|a, d|b, 而r = a - kb, 因此d|r。
因此,d是(b, a mod b)的公约数。
加上d是(b,a mod b)的公约数,则d|b, d|r, 但是a = kb + r,因此d也是(a, b)的公约数。
因此,(a, b) 和(a, a mod b)的公约数是一样的,其最大公约数也必然相等,得证。
欧几里德的Python语言描述为:
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def gcd(a, b):
if a <b:
a, b = b, a
while b != 0:
temp = a % b
a = b
b = temp
return a
2. Stein算法
欧几里德算法是计算两个数最大公约数的传统算法,无论是理论,还是从效率上都是很好的。但是他有一个致命的缺陷,这个缺陷只有在很大的素数时才会显现出来。
考虑现在的硬件平台,一般整数最多也就是64位, 对于这样的整数,计算两个数值就的模很简单的。对于字长为32位的平台,计算两个不超过32位的整数的模,只需要一个指令周期,而计算64位以下的整数模,也不过几个周期而已。但是对于更大的素数,这样的计算过程就不得不由用户来设计,为了计算两个超过64位的整数的模,用户也许不得不采用类似于多位除法手算过程中的试商法,这个过程不但复杂,而且消耗了很多CPU时间。对于现代密码算法,要求计算128位以上的素数的情况比比皆是,设计这样的程序迫切希望能够抛弃除法和取模。
Stein算法由J.Stein 1961年提出,这个方法也是计算两个数的最大公约数。和欧几里德算法不同的是,Stein算法只有整数的移位和加减法,这对于程序设计者是一个福音。
为了说明Stein算法的正确性,首先必须注意到以下结论:
gcd(a, a) = a, 也就是一个数和他自己的公约数是其自身。
gcd(ka, kb) = k * gcd(a, b),也就是最大公约数运算和倍乘运算可以交换,特殊的,当k=2时,说明两个偶数的最大公约数比如能被2整除。
Stein算法的python实现如下:
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def gcd_Stein(a, b):
if a <b:
a, b = b, a
if (0 == b):
return a
if a % 2 == 0 and b % 2 == 0:
return 2 * gcd_Stein(a/2, b/2)
if a % 2 == 0:
return gcd_Stein(a / 2, b)
if b % 2 == 0:
return gcd_Stein(a, b / 2)
return gcd_Stein((a + b) / 2, (a - b) / 2)
3. 一般求解实现
核心代码很简单:
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def gcd(a, b):
if b == 0:return a
return gcd(b, a % b)
附上一个用Python实现求最大公约数同时判断是否是素数的一般方法:
程序如下:
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#!/usr/bin/env python
def showMaxFactor(num):
count = num / 2
while count >1:
if num % count == 0:
print 'largest factor of %d is %d' % (num, count)
break#break跳出时会跳出下面的else语句
count -= 1
else:
print num, "is prime"
for eachNum in range(10,21):
showMaxFactor(eachNum)
输出如下:
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largest factor of 10 is 5
11 is prime
largest factor of 12 is 6
13 is prime
largest factor of 14 is 7
largest factor of 15 is 5
largest factor of 16 is 8
17 is prime
largest factor of 18 is 9
19 is prime
largest factor of 20 is 10
你好,答案如下所示。
如图所示
希望你能够详细查看。
如果你有不会的,你可以提问
我有时间就会帮你解答。
希望你好好学习。
每一天都过得充实。
最近也没什么事可做,就在备赛蓝桥杯(Python).蓝桥杯主要考察的是算法题目.所以我也在网上找了些资源刷题,昨天当我刷到《完美的代价》这道题目的时候,我就被卡住了.怎么想也想不通,就连解题代码也看不懂.更 搞笑 的是,昨天晚上我睡觉的时候,就在思考这道题目,结果不到一分钟,我就入睡了...
今天起床后,我就在CSDN里面找寻思路,有些博主提到,《完美的代价》需要用到贪心算法,但是我也没正经学过相关的算法,所以就去研究了一下贪心算法,发现这个算法还有点意思呢
贪心算法并不是一个具体的算法,而是一种算法的思想,或者说是解决问题的一种思路
要想弄明白贪心算法,可以从这两个关键点入手:
贪心算法最大的特点,就是在每一步中取最优化的解,不会回溯处理。这样的策略,自然在执行速度上更快,但是因为这种方法的短视。会导致得的解并不是真正的全局最优解,但是贪心算法得到的依然是一个近似最优解
问题可以描述为:给定一组物品,每种物品都有自己的重量和价格,在限定的总重量内,我们如何选择,才能使得物品的总价格最高
通俗解释:假如你有一个只能承重100的背包,你往里面装一些重量和价值不等的东西,怎样才可以让你的背包中的价值最大
这个问题中就是关键在于,每个转入背包的东西,只能是被装入背包和不被装入背包两种状态,可以用0-1表示。所以叫0-1背包问题。其二,就是这个问题的两个限定。第一,背包的边界是明确,它只能承重那么多东西。第二,东西的边界是明确的,你只有那么一些东西可以选择
故而,这个问题其实有三种策略可以选择:
这三种策略中,策略一看起来最好的策略
但是,策略一的模糊化太大,需要根据特殊的情况,做出特殊的改变
策略二和策略三相同,本身上并没有太多不同。只是二者的视角不同
我们了解贪心算法后,再来看看这道算法题吧
回文串,是一种特殊的字符串,它从左往右读和从右往左读是一样的。小龙龙认为回文串才是完美的。现在给你一个串,它不一定是回文的,请你计算最少的交换次数使得该串变成一个完美的回文串。
交换的定义是:交换两个相邻的字符
例如mamad
第一次交换 ad : mamda
第二次交换 md : madma
第三次交换 ma : madam (回文!完美!)
第一行是一个整数N,表示接下来的字符串的长度(N