通过断点回归（RD），还可以用R语言的robustrao命令详解、设计前提条件内生分组等显著性检验、全套标准动作

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嘿喽，我是则已。这是stata的第五期学习。

前面学习了聚类分析、ols回归分析。今天来学习：回归检验。学到这里，恭喜你，你已经对最基本回归分析整个流程都走了一遍。接下来涉及的非线性回归，Logit回归，因变量受限回归，时间序列分析，面板数据分析都与最基本的回归方法有一些联系。

划线部分是自己要研究的变量。

回归检验

前面我们学习了最小二乘回归，这种回归方法简单并且满足我们大部分的研究需要，但是能进行这种回归的前提是有条件的：变量无异方差，变量无自相关，变量无多重共线性。 所以在进行回归之后我们要检验一下数据是否存在这样的问题，如果存在了，我们要进行处理之后再进行一次最小二乘回归分析。本回归检验包含三部分：异方差检验与应对、自相关检验与应对、多重共线性检验与应对。 01 异方差检验与应对 能进行回归分析的一个基本假设：因变量的方差不随自身预测值和其他自变量的值变化而改变。但是如果在回归时不满足这个假设条件，就会出现异方差的情况。常用来判断是否出现异方差的检验办法有：绘制残差序列图、怀特检验、BP检验 解决出现异方差的的方法有：使用标准差进行回归、使用加权最小二乘回归分析方法进行回归。 首先对数据进行描述性分析，看看数据特征: summarize V1 V2 V3 V4 V5,detail

结果分析：描述性分析可以进行简单的数字分析，也可以进行比较仔细地数字分析，这里进行的是比较详细的分析，故加了detail。进行描述性分析是为了看看样本中是否存在极端的数据，看看极大值、极小值，还有数据之间是不是差距过大。 数据整体不错，进行下一步相关性分析：correlate V1 V2 V3 V4 V5

结果分析：大家可以发现在回归前数据必定会进行描述性分析和相关性分析，进行相关性分析是为了看看变量之间有没有关系。可以看出它们的关系还是可以接受的。 进行回归分析：regress V1 V2 V3 V4 V5

结果分析：F值为437.69，P值为0可以看出模型是非常显著的。R-squared超过了92%说明模型解释能力近乎完美的。但是V5的P值是0.518，比较不显著的。由下表Coef、cons可以得到该模型的方程式： V1=0.7203941V2+0.4363412V3+0.426517V4-0.2198884V5+0.3897354 获取方差和协方差矩阵：vce

结果分析：自变量方差和协方差都不大。 检验各个变量系数的显著性：test V2 V3 V4 V5

结果分析：发现自变量联合系数检验是非常显著的。通过了假设检验。 预测因变量的拟合值和残差： predict yhat predict e,resid

以上回归步骤操作完毕，下面我们来进行检验是否存在异方差，绘制残差与因变量的散点图：rvfplot

图形分析：Fitted values指回归得到的拟合值，Residuals指残差。可以看出，残差随着拟合值的不同而不同，尤其是在4-8，变动那是相当剧烈。，同一个拟合值对应非常多残差。所以存在一定异方差。 再来看看残差与自变量的散点图： rvpplot V2

结果分析：还是可以看到残差在0-4的波动还是比较剧烈的。数据还是存在一定的异方差。 绘制残差序列图只是比较粗略的看到是否存在异方差，为了精确测量，应该使用怀特检验：estat imtest,white

结果分析：怀特检验的原假设：数据是同方差，不存在异方差。我们观察P值为0是非常显著地拒绝了原假设，P值越小越拒绝，所以我们认为数据存在严重的异方差的。 下面我们用BP检验：estat hettest，iid

BP检验有很多方法，上面用的是得克尼克值来检验的。 也可以用方程右边的解释变量来解释异方差：estat hettest,rhs iid

也可以指定变量来进行BP检验：estat hettest V2,rhs iid

结果解释：BP检验的原假设也是：数据是同方差，不存在异方差。 既然我们已经发现了数据存在异方差，我们必须重新回归一次。 使用稳健性标准差对数据进行回归：regress V1 V2 V3 V4 V5,robust

结果分析：可以看出模型的F值是175.79，P值是0，模型也是非常显著的。R值也是超过92%，说明模型的解释力度很强。同时也可以得到模型的方程式，特别是V5的P值减，显著性得到一定的提高。可见我们利用稳健性标准差进行回归取得了一定的效果。 试试另外一种：使用加权平均数最小二乘回归分析来解决数据的异方差性：reg V1-V5

先删除第一回归分析预测的残差e,并重新进行预测e，然后进行平方变换： drop e predict e,resid gen ee=e^2 在残差进行平方变换的基础上再进行取对数： gen lnee=ln(ee) 再进行一次回归：reg lnee V2,nocon

删除掉第一次回归预测的拟合值，并重新预测拟合值： drop yhat predict yhat 对预测的拟合值进行指数变换：gen yhatthat=exp(yhat)

最后进行加权最小二乘回归分析：reg V1 V2 V3 V4 V5[aw=1/yhatthat]

结果分析：模型的F值，P值及R方值都得到了很大程度的提高。这就是我们使用加权最小二乘回归分析得到模型的改善效果。

02 自相关检验与应对 自相关性指随机误差项的各期望值之间存在相关关系，引起自相关性的原因有很多：经济变量惯性作用、经济行为的滞后性等。自相关性会使T检验不再显著，模型的预测功能失效。判断存在方法：绘制残差序列图，BG检验，Box-Pierce检验，DW检验。 解决自相关的方法：自相关异方差稳健的标准差进行回归、使用广义最小二乘回归分析方法进行回归。

跟上面一样，先进行描述性分析，相关性分析，回归分析，获取方差和协方差矩阵，检各个变量系数显著性，预测模型拟合值和残差。

由于自相关性往往出现在时间序列数据，故对这类数据进行分析还需要添加一些额外步骤： 首先对时间序列数据进行定义: tsset month

结果分析：把整个数据的变量定义为以月为周期的时间序列数据。 绘制残差滞后一期的散点图：scatter e l.e

结果分析：l.e指残差数据滞后一期，如要残差数据滞后两期则是l2.e。可以看到数据之间存在正相关的关系，即它y轴随着纵轴的数据变大。 如要更精致的图，我们可以绘制残差的自相关图，探索一下它的自相关阶数： ac e

结果分析：横轴表示滞后的阶数lag，阴影部分表示95%的自相关置信区间。阴影部分之外，表示自相关系数显著不为0。例如：从左往右第一条竖线的在阴影之外表示一阶自相关系数显著不为零。所以说数据主要存在一阶自相关。 我们也可以绘制一下偏自相关图：pac e

结果分析：从这个偏自相关图，同样可以看出这个一阶自相关。 还可以用BG检验自相关性：estat bgodfre

结果分析：BG检验的原假设是：数据没有自相关性。可以看到P值远远小于0.05，所以显著拒绝了原假设。即数据存在自相关。 还可以用BPQ假设检验自相关：wntestq e

结果分析：BPQ检验的原假设也是：数据不存在自相关。可以看出是显著拒绝了原假设的。 还可以用DW检验：estat dwatson

结果分析：DW检验的原假设是数据没有自相关的值正好等于2。我们的数据是0.35，所以远远小于2，存在正自相关。 既然已经知道了存在自相关性，我们要设法改进模型。 异方差稳健的标准差对数据进行重新回归分析，首先确定异方差稳健的标准差进行回归之后的阶数：di 49^0.25

结果分析：这个阶数是样本个数的0.25次幂，所以确定了阶数是3。 再进行异方差自相关稳健性的标准差分析：newey profit asset,lag(3)

结果分析：利用确定因变量profit,自变量asset，阶数3来进行分析。我们可以看到模型是非常显著的。 可以使用广义的最小二乘回归分析方法来解决数据的异方差，corc估计法： prais profit asset,corc

结果分析：怎么看还是和前面一样。特别的，我们看到最后那两行，发现DW的值由0.35变化到了1.92，基本上接近了2。所以模型消除了自相关。 广义的最小二乘估计法去解决异方差问题，还有pw估计法： prais profit asset,nolog

结果分析：同样的，pw估计方也是DW检验值接近2，基本上消除了自相关性。

03 多重共线性检验与应对 多重共线性指如果某自变量能够被其他自变量通过线性组合得到，则存在严重的多重共线性。若一个自变量能被其他自变量解释，则存在相近的多重共线性。多重共线性会导致系数估计不准确，使部分系数的显著性很弱。 解决多重共线性的方法有两种：剔除不显著的变量、进行因子分析提取相关性较弱的几个主因子

跟上面一样，先进行描述性分析，相关性分析，回归分析。

结果分析：注意我们回归全是自变量，看到回归分析后的结果，这些自变量的系数P值都大于0.05，说明系数存在不显著的问题，判断数据可能存在多重共线性。 进行多重共线性检验：estat vif

结果分析：vif指方差膨胀因子，方差膨胀因子和合理值是10以内，可看出我们的结果是41.77， 所以存在较高的多重共线性。 剔除较高的V5，重新进行回归：regress V2 V3 V4 V6

再进行多重共线性检验：estat vif

结果分析：可以发现V6方差因子值较大。但是整体的方差值降到10.85，得到很大的改善。 再剔除V6，回归并检验： regress V2 V3 V4 estat vif

结果分析：可以看出膨胀因子变成1，多重共线性得到很大改善。不过看到V4的回归系数显著性不是很好。 试试删除V4再进行回归检验： regress V2 V3 estat vif

结果分析：模型的解释能力R方值、模型的显著性都近乎完美。所以V3是最能解释V1的变量。 还可以用因子分析来检验模型的多重共线性：factor V3 V4 V5 V6,pcf

结果分析：可以看出只保留了一个主成因子，这个因子特征值和解释力度都很大。 提取公因子变量：predict f1

回归分析：reg V2 f1

vif检验：vif

结果分析：可以看出多重共线性没了。模型中各个系数的值也是非常显著的。

今天学习了回归检验，它是在对回归之后的模型进行检验的方法。主要涉及异方差检验，自相关性检验，多重共线性检验。一旦数据出现这些问题：前两个问题可以通过绘制图形大致了解是否存在，后一个问题只要在回归之后分析各自变量的系数的P值来判断是否显著从而判断出数据是否存在。解决它们的方法多种多样，根据自己的需要选择适当方法。好啦，今天的学习到这里！如果有什么不懂，或者需要软件和教学资源请到后台联系我。

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当影响因变量的因素是多个时候，这种一个变量同时与多个变量的回归问题就是多元回归，分为：多元线性回归和多元非线性回归。这里直说多元线性回归。对比一元线性回归：

1.1多元回归模型：

y=β0+β1x1+β2x2+…+βkxk+ε

y=β0+β1x1+β2x2+…+βkxk+ε

1.2多元回归方程

E(y)=β0+β1x1+β2x2+…+βkxk

E(y)=β0+β1x1+β2x2+…+βkxk

1.3估计的多元回归方程

y^=β0^+β1^x1+β2^x2+…+βk^xk

y^=β0^+β1^x1+β2^x2+…+βk^xk

2.1**对参数的最小二乘法估计：**

和一元线性回归中提到的最小二乘法估计一样、这不过这里的求导变量多了点、原理是一样的、这里需要借助计算机求导、就不写了。

3 回归方程的拟合优度：

3.1 多重判定系数：(Multiple coefficient of determination)

R2=SSRSST=1−SSESST

R2=SSRSST=1−SSESST

注解：

(1 ) 对于多重判定系数有一点特别重要的需要说明：自变量个数的增加将影响到因变量中被估计的回归方程所解释的变量数量。当增加自变量时，会使预测误差变得较小，从而减小残差平方和 SSESSE。自然就会是 SSRSSR变大。自然就会是 R2R2变大。这就会引发一个问题。如果模型中增加一个自变量，即使这个自变量在统计上并不显著， R2R2的值也会变大。因此为了避免这个问题。提出了 调整的多种判定系数(adjusted multiple coefficient of determination):

R2a=1−(1−R2)(n−1n−k−1)

Ra2=1−(1−R2)(n−1n−k−1)

R2aRa2 同时考虑了样本量 (n)(n) 和模型中自变量的个数 (k)(k) 的影响，这就使得 R2aRa2 的值永远小于 R2R2，而且 R2aRa2 的值不会因为模型中自变量的个数增多而逐渐接近于 11.

(2 ) R2R2 的平方根成为多重相关系数，也称为复相关系数， 它度量了因变量同 kk 个自变量的相关程度。

3.2 估计标准误差

同一元线性回归一样，多元回归中的估计标准误差也是误差项 εε 的方差 σ2σ2 的一个估计值，

se=SSEn−k−1−−−−−−−−√=MSE−−−−−√

se=SSEn−k−1=MSE

4. 显著性检验

在此重点说明，在一元线性回归中，线性关系的检验 (F检验)(F检验) 和回归系数的检验 (t检验)(t检验) 是等价的。 但是在多元回归中，线性关系的检验主要是检验因变量同多个自变量线性关系是否显著，在 kk 个自变量中，只要有一个自变量与因变量的线性关系显著， F检验F检验 就能通过，但这不一定意味着每个自变量与因变量的关系都显著。回归系数检验则是对每个回归系数分别进行单独的检验，它主要用于检验每个自变量对因变量的影响是否都显著。如果某个自变量没有通过检验，就意味着这个自变量对因变量的影响不显著，也许就没有必要将这个自变量放进回归模型中。

4.1 线性关系的检验

步骤：

（1）：提出假设

H0:β1=β2=…=βk=0

H0:β1=β2=…=βk=0

H1:β1,β2,…=βk至少有一个不等于0

H1:β1,β2,…=βk至少有一个不等于0

（2）：计算检验的统计量F.

F=SSR/kSSE/(n−k−1)≈F(k,n−k−1)

F=SSR/kSSE/(n−k−1)≈F(k,n−k−1)

（3）：作出统计决策。

4.2 线性关系的检验

步骤：

（1）：提出假设

H0:βi=0

H0:βi=0

H1:βi≠0

H1:βi≠0

（2）：计算检验的统计量F.

ti=βi^sβi^≈t(n−k−1)

ti=βi^sβi^≈t(n−k−1)

（3）：作出统计决策。

5.1 多重共线性

多重共线性：当回归模型中两个或两个以上的变量彼此相关时，则称回归模型中存在多重共线性。

多重共线性的判别：

（1）模型中中各对自变量之间显著相关

（2）当模型的线性关系检验 (F检验)(F检验) 显著时，几乎所有的回归系数 βiβi 的 tt 检验却不显著。

（3）回归系数的正负号与预期的相反。

（4）容忍度(tolerance) 与 方差扩大因子(variance inflation factor, VIF).

容忍度：某个变量的容忍度等于 1 减去该自变量为因变量而其他 k−1k−1 个自变量为预测变量时所得到的线性回归模型的判定系数。即 1−R2i1−Ri2。 容忍度越小，多重共线性越严重。通常认为 容忍度小于 0.1 时，存在严重的多重共线性。

方差扩大因子：容忍度的倒数。 因此，VIFVIF 越大，多重共线性越严重，一般认为 VIFVIF 的值大于10时，存在严重的多重共线性。

5.2 多重共线性的处理

常见的两种办法：

（1）将一个或多个相关的自变量从模型中剔除，使保留的自变量尽可能不相关。

（2）如果要在模型中保留所有的自变量，那么应该：

（2.1）避免根据 tt统计量对单个参数 ββ 进行检验，

（2.2）对因变量 yy 值的推断（预测和估计）限定在自变量样本值的范围内。

5.3选择变量避免共线性的几种方式，

在建立回归模型时，我们总是希望用最少的变量来说明问题，选择自变量的原则通常是对统计量进行显著性检验，检验的根据是：将一个或一个以上的自变量引入回归模型中时，是否使残差平方和 (SSE)(SSE) 显著减少，如果增加一个自变量使残差平方和 (SSE)(SSE) 显著减少，则说明有必要将这个变量引入回归模型中，否则，没有必要将这个变量引入回归模型中。确定在模型中引入自变量 xixi 是否使残差平方和 (SSE)(SSE) 显著减少的方法，就是使用 FF 统计量的值作为一个标准，以此来确定在模型中增加一个自变量，还是从模型中剔除一个自变量。

变量选择方式：

5.3.1 向前选择

第一步： 对 kk 个自变量分别与因变量 yy 的一元线性回归模型，共有 kk 个，然后找到 FF 统计量的值最大的模型及其自变量 xixi 并将其首先引入模型。

第二步： 在已经引入模型的 xixi 的基础上，再分别拟合 xixi 与模型外的 k−1k−1 个自变量的线性回归模型，挑选出 FF 值最大的含有两个自变量的模型， 依次循环、直到增加自变量不能导致 SSESSE 显著增加为止，

5.3.2向后剔除

第一步：先对所有的自变量进行线性回归模型。然后考察 p<kp<k 个去掉一个自变量的模型，使模型的SSE值减小最少的自变量被挑选出来从模型中剔除，

第二步：考察 p−1p−1 个再去掉一个自变量的模型，使模型的SSE值减小最少的自变量被挑选出来从模型中剔除，直到剔除一个自变量不会使SSE值显著减小为止，这时，模型中的所剩自变量自然都是显著的。

5.3.3逐步回归

是上面两个的结合、考虑的比较全，以后就用这个就可以。

具体的分析过程、咱们以spss的多元回归分析结果为例。

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先说一句题外话，如果当年在大学里数理统计等课程结合SPSS，SAS，R等软件来讲，应该效果会好很多。 最近做了一些用SPSS进行线性回归的实验，还是感觉很多细节把握不好，这里结合我的实验结果，以及网上别人的介绍总结一下，先贴几张SPSS的输出： 下面简单解释一下这三张图中的结果： 第一个表模型汇总表中，R表示拟合优度（goodness of fit），它是用来衡量估计的模型对观测...

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多元回归分析--学习笔记

回归系数解释：回多元回归情形下，对每一个回归系数的解释如下，当所有其他自变量保持不变时，bi是因变量y对应于自变量xi改变一个单位时所做的改变的估计值。 多元判定系数（R-sq）：计算方法同简单线性回归，乘以100即可解释为：因变量y中的变异性能被估计多元线性回归方程解释的百分比 修正多元判定系数：多元判定系数的值总是随着新的自变量进入模型而增加，即使新增的变量在统计学上并不显