聚类分析是生信分析中常用的工具，在转录组分析中经常用到。聚类分析将表达模式相似的基因聚类在一起，以基因集的形式进行后续分析，今天我给大家介绍其相关原理。

聚类方法有很多，常用的有以下几个：

下图的例子展示的是，差异表达基因集的聚类热图。

多是基于R语言heatmap.2函数绘制（gplots程序包），该函数默认使用的聚类方法是计算欧式距离（Euclidean Distance）进行层次聚类（Hierarchical Cluster）。

这个图的是什么意思呢？我们来解释一下。

首先，我们先明确下什么是欧式距离（Euclidean Distance）：

欧式距离，也称欧几里得距离，是衡量多维空间的两个点之间的绝对距离，

（1）二维平面，两点a(x1,y1)，b(x2,y2) 欧式距离的计算公式为：

（2）三维空间，欧式距离的计算公式为：

（3）n维空间，欧式距离的计算公式为：

那么，体现在基因表达量的矩阵上，则如下：

（1） 首行为样本名；

（2） 首列为基因名；

（3） 数字则为基因在相应样本中的表达量（一般使用标准化后的表达量矩阵）

Gene1与Gene2的欧式距离为：

Gene1与Gene3的欧式距离为：

Gene1与Gene4的欧式距离为：

计算出所有基因两两之间的欧式距离之后，就可以进行聚类啦：

Cluster之间的聚类，则有3种方法：

R语言中hclust函数的默认方法为最长距离法（complete-linkage）。

以上的聚类过程即称之为 层级聚类 。

层级聚类一般伴随着 系统聚类图 ，系统聚类图分支的长短也体现Cluster形成的早晚，分支越短，形成的越早，基因表达模式也越相近。

聚类分析将基因划分为不同的基因集合，用于反映不同实验条件下样品差异表达基因的变化模式。

功能相关的基因在相同条件下通常具有相似的表达模式，例如被共同的转录因子调控的基因，或其产物构成同一个蛋白复合体的基因，或参与相同生物学过程的基因。对这些基因集进行分析往往可以获得比单基因分析更为可靠的结果。

聚类分析有两种主要计算方法，分别是凝聚层次聚类（Agglomerative hierarchical method）和K均值聚类（K-Means）。 一、层次聚类 层次聚类又称为系统聚类，首先要定义样本之间的距离关系，距离较近的归为一类，较远的则属于不同的类。可用于定义“距离”的统计量包括了欧氏距离 (euclidean)、马氏距离(manhattan)、 两项距离(binary)、明氏距离(minkowski)。还包括相关系数和夹角余弦。 层次聚类首先将每个样本单独作为一类，然后将不同类之间距离最近的进行合并，合并后重新计算类间距离。这个过程一直持续到将所有样本归为一类为止。在计算类间距离时则有六种不同的方法，分别是最短距离法、最长距离法、类平均法、重心法、中间距离法、离差平方和法。 下面我们用iris数据集来进行聚类分析，在R语言中所用到的函数为hclust。首先提取iris数据中的4个数值变量，然后计算其欧氏距离矩阵。然后将矩阵绘制热图，从图中可以看到颜色越深表示样本间距离越近，大致上可以区分出三到四个区块，其样本之间比较接近。 data=iris[,-5] dist.e=dist(data,method='euclidean') heatmap(as.matrix(dist.e),labRow = F, labCol = F) X 然后使用hclust函数建立聚类模型，结果存在model1变量中，其中ward参数是将类间距离计算方法设置为离差平方和法。使用plot(model1)可以绘制出聚类树图。如果我们希望将类别设为3类，可以使用cutree函数提取每个样本所属的类别。 model1=hclust(dist.e,method='ward') result=cutree(model1,k=3) 为了显示聚类的效果，我们可以结合多维标度和聚类的结果。先将数据用MDS进行降维，然后以不同的的形状表示原本的分类，用不同的颜色来表示聚类的结果。可以看到setose品种聚类很成功，但有一些virginica品种的花被错误和virginica品种聚类到一起。

关于谱能量，有这样一种解释，你可以试着去算一算信号可以分成能量信号与功率信号，非周期能量信号具有能量谱密度，是傅立叶变换的平方，功率信号具有功率谱密度，其与自相关函数是一对傅立叶变换对，等于傅立叶变换的平方/区间长度。不能混淆。能量信号是没有功率谱的。胡广书老师的书上找到这么一段话，“随机信号在时间上是无限的，在样本上也是无穷多，因此随机信号的能量是无限的，它应是功率信号。功率信号不满足付里叶变换的绝对可积的条件，因此其付里叶变换是不存在的。如确定性的正弦函数的付里叶变换是不存在，只有引入了冲激函数才求得其付里叶变换。因此，对随机信号的频谱分析，不再简单的是频谱，而是功率谱。”对于确定性信号而言，里面存在能量信号，是没有功率谱密度的，也存在功率信号，是有功率谱密度的。所以信号的频谱与是否是确定性信号没有必然联系。以下论点来源于研学论坛：频谱是信号的傅立叶变换。它描述了信号在各个频率上的分布大小。频谱的平方(当能量有限，平均功率为0时称为能量谱)描述了信号能量在各个频率上的分布大小。计算过程中，都是通过样本数据的快速傅立叶变换来计算。但不同的是，信号的频谱是复数，包含幅频响应和相频响应，重复计算时的结果基本相同。而随机信号的功率谱也可以对数据进行FFT，但必须计算模值的平方，因为功率谱是实数。而且换一组样本后，计算的结果略有不同，因为随机信号的样本取值不同。要得到真实的功率谱必须进行多次平均，次数越多越好。根据parseval定理，信号傅氏变换模平方被定义为能量谱，即单位频率范围内包含的信号能量。自然，能量跟功率有一个时间平均的关系，所以，能量谱密度在时间上平均就得到了功率谱。matlab实现经典功率谱估计fft做出来是频谱，psd做出来是功率谱；功率谱丢失了频谱的相位信息；频谱不同的信号其功率谱是可能相同的；功率谱是幅度取模后平方，结果是个实数matlab中自功率谱密度直接用psd函数就可以求，按照matlab的说法，psd能实现Welch法估计，即相当于用改进的平均周期图法来求取随机信号的功率谱密度估计。psd求出的结果应该更光滑吧。1、直接法：直接法又称周期图法，它是把随机序列x(n)的N个观测数据视为一能量有限的序列，直接计算x(n)的离散傅立叶变换，得X(k)，然后再取其幅值的平方，并除以N，作为序列x(n)真实功率谱的估计。Matlab代码示例：clearFs=1000%采样频率n=0:1/Fs:1%产生含有噪声的序列xn=cos(2*pi*40*n)+3*cos(2*pi*100*n)+randn(size(n))window=boxcar(length(xn))%矩形窗nfft=1024[Pxx,f]=periodogram(xn,window,nfft,Fs)%直接法plot(f,10*log10(Pxx))2、间接法：间接法先由序列x(n)估计出自相关函数R(n)，然后对R(n)进行傅立叶变换，便得到x(n)的功率谱估计。Matlab代码示例：clearFs=1000%采样频率n=0:1/Fs:1%产生含有噪声的序列xn=cos(2*pi*40*n)+3*cos(2*pi*100*n)+randn(size(n))nfft=1024cxn=xcorr(xn,'unbiased')%计算序列的自相关函数CXk=fft(cxn,nfft)Pxx=abs(CXk)index=0:round(nfft/2-1)k=index*Fs/nfftplot_Pxx=10*log10(Pxx(index+1))plot(k,plot_Pxx)3、改进的直接法：对于直接法的功率谱估计，当数据长度N太大时，谱曲线起伏加剧，若N太小，谱的分辨率又不好，因此需要改进。3.1、Bartlett法Bartlett平均周期图的方法是将N点的有限长序列x(n)分段求周期图再平均。Matlab代码示例：clear；Fs=1000n=0:1/Fs:1xn=cos(2*pi*40*n)+3*cos(2*pi*100*n)+randn(size(n))nfft=1024window=boxcar(length(n))%矩形窗noverlap=0%数据无重叠p=0.9%置信概率[Pxx,Pxxc]=psd(xn,nfft,Fs,window,noverlap,p)index=0:round(nfft/2-1)k=index*Fs/nfftplot_Pxx=10*log10(Pxx(index+1))plot_Pxxc=10*log10(Pxxc(index+1))figure(1)plot(k,plot_Pxx)pausefigure(2)plot(k,[plot_Pxx plot_Pxx-plot_Pxxc plot_Pxx+plot_Pxxc])3.2、Welch法Welch法对Bartlett法进行了两方面的修正，一是选择适当的窗函数w(n)，并再周期图计算前直接加进去，加窗的优点是无论什么样的窗函数均可使谱估计非负。二是在分段时，可使各段之间有重叠，这样会使方差减小。Matlab代码示例：clearFs=1000n=0:1/Fs:1xn=cos(2*pi*40*n)+3*cos(2*pi*100*n)+randn(size(n))nfft=1024window=boxcar(100)%矩形窗window1=hamming(100)%海明窗window2=blackman(100)%blackman窗noverlap=20%数据无重叠range='half'%频率间隔为[0 Fs/2]，只计算一半的频率[Pxx,f]=pwelch(xn,window,noverlap,nfft,Fs,range)[Pxx1,f]=pwelch(xn,window1,noverlap,nfft,Fs,range)[Pxx2,f]=pwelch(xn,window2,noverlap,nfft,Fs,range)plot_Pxx=10*log10(Pxx)plot_Pxx1=10*log10(Pxx1)plot_Pxx2=10*log10(Pxx2)figure(1)plot(f,plot_Pxx)pausefigure(2)plot(f,plot_Pxx1)pausefigure(3)plot(f,plot_Pxx2)

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