变量可归结为名义型、有序型或连续型变量。名义型变量是没有顺序之分的类别变量。类别（名义型）变量和有序类别（有序型）变量在R中称为因子（factor）。因子在R中非常重要，因为它决定了数据的分析方式以及如何进行视觉呈现。因子（factor)是R语言中比较特殊的一个数据类型， 它是一个用于存储 的类型，举个例子，从性别上，可以把人分为：男人和女人，从年龄上划分，又可以把人分为：未成年人（<18岁），成年人（>=18）。
R把表示分类的数据称为因子，因子的行为有时像字符串，有时像整数。因子是一个向量，通常情况下，每个元素都是字符类型，也有其他数据类型的元素。因子具有因子水平（Levels），用于限制因子的元素的取值范围，R强制：因子水平是字符类型，因子的元素只能从因子水平中取值，这意味着，因子的每个元素要么是因子水平中的字符（或转换为其他数据类型），要么是缺失值，这是因子的约束，是语法上的规则。
通常情况下，在创建数据框变量时，R隐式把数据类型为字符的列创建为因子，这是因为R会把文本类型默认为类别数据，并自动转换为因子。前面我们在讲数据框时，就有提到。
通过class()函数检查gender列的类，结果是因子类型，而不是字符向量。
可以通过factor()函数创建因子，factor()函数的第一个参数必须是字符向量，通过levels参数显式设置因子水平。
参数注释：
例如，因子sex的值是向量c('f','m','f','f','m')，因子水平是c('f','m')
因子水平规定了 因子取值的范围 ，每一个因子，都包含因子水平的信息，例如，打印gender列，可以看到因子的元素和水平：
该因子中的每个值都是一个字符串，它们被限制为“f”、“m”和缺失值（NA）。如果把其他字符串添加到gender列中，R会抛出警告消息，并把错误赋值的元素设置为NA，例如：
因子水平，可以通过函数levels(factor)来查看：
水平的级数，相当于level的长度，可以由nlevels函数查询到：
使用factor函数创建因子，可以使用labels参数为每个因子水平添加标签，labels参数的字符顺序，要和levels参数的字符顺序保持一致，例如：
通常情况下，因子一般是无序的，这可以通过is.ordered()函数来验证：
因子的顺序，实际上是指因子水平的顺序，有序因子的因子水平是有序的。在特殊情况下，有些因子的水平在语义上大于或小于其他水平，R支持按顺序排列的因子，使用ordered函数，或通过给factor函数传入order=TRUE参数，把无序因子转换为有序的因子。
ordered()函数不能指定特定因子水平的顺序，通常情况下，因子中先出现的水平小于后出现的水平。例如，通过ordered函数把sex因子转换为有序的因子：
通过factor函数创建有序因子，通过levels指定因子的顺序。
因子的顺序，其实是因子水平的顺序，我们可以通过levels，使现有的因子按照指定的因子水平来排序。
例如，把heights数据框的gender，按照指定的levels，转换成有序因子：
在数据清理时，可能需要去掉与因子水平对应的数据，通常情况下，需要删除未使用的因子水平，可以使用droplevels函数，它接受因子或是数据框作为参数。
如果x是数据框，那么把数据框中未使用的因子删除。
在数据清理中，有时需要把因子转换为字符，通常情况下，使用as.character()函数，把因子转换为字符串：
使用as.numeric()或as.integer()函数可以把因子转换成对应的整数.
函数 cut() 能够把数值变量切成不同的块，然后返回一个因子.
参数注释：
例如，把身高数据，按照指定的切割点向量分割：
当需要把因子转换为有序因子时，要注意因子水平的顺序.
R语言中的因子确实不好理解，很多人都这么觉得。在R语言中，因子（factor）表示的是一个符号、一个编号或者一个等级，即，一个点。例如，人的个数可以是1，2，3，4......那么因子就包括，1，2，3，4.....还有统计量的水平的时候用到的高、中、低，也是因子，因为他是一个点。与之区别的向量，是一个连续性的值，例如，数值中有1，1.1，1.2......可以作为数值来计算，而因子则不可以。如果用我自己的理解，简单通俗来讲：因子是一个点，向量是一个有方向的范围。在R中，如果把数字作为因子，那么在导入数据之后，需要将向量转换为因子（factor），而因子在整个计算过程中不再作为数值，而是一个"符号"而已。因子的水平就是因子的所有不相同的符号的集合。
创建因子的函数介绍如下：
factor(x, levels = sort(unique(x), na.last = TRUE),
labels = levels, exclude = NA, ordered = is.ordered(x))
levels 用来指定因子可能的水平（缺省值是向量x中互异的值）；labels
用来指定水平的名字；exclude表示从向量x中剔除的水平值；ordered是
一个逻辑型选项用来指定因子的水平是否有次序。回想数值型或字符型
的x。
>factor(1:3)
[1] 1 2 3
Levels: 1 2 3
>factor(1:3, levels=1:5)
[1] 1 2 3
Levels: 1 2 3 4 5
>factor(1:3, labels=c("A", "B", "C"))
[1] A B C
Levels: A B C
>factor(1:5, exclude=4)
[1] 1 2 3 NA 5
Levels: 1 2 3 5
函数levels用来提取一个因子中可能的水平值：
>f <- factor(c(2, 4), levels=2:5)
>f
[1] 2 4
Levels: 2 3 4 5
>levels(f)
[1] "2" "3" "4" "5"
因子用来存储类别变量(categorical variables)和有序变量，这类变量不能用来计算而只能用来分类或者计数。因子表示分类变量，有序因子表示有序变量。生成因子数据对象的函数是factor(),语法是factor(data, levels, labels, ...)，其中data是数据，levels是因子水平向量，labels是因子的标签向量。
1、创建一个因子。
例1：
>colour <- c('G', 'G', 'R', 'Y', 'G', 'Y', 'Y', 'R', 'Y')
>col <- factor(colour)
>col1 <- factor(colour, levels = c('G', 'R', 'Y'), labels = c('Green', 'Red', 'Yellow')) #labels的内容替换colour相应位置对应levels的内容
>col2 <- factor(colour, levels = c('G', 'R', 'Y'), labels = c('1', '2', '3'))
>col_vec <- as.vector(col2) #转换成字符向量
>col_num <- as.numeric(col2) #转换成数字向量
>col3 <- factor(colour, levels = c('G', 'R'))
2、创建一个有序因子。
例1：
>score <- c('A', 'B', 'A', 'C', 'B')
>score1 <- ordered(score, levels = c('C', 'B', 'A'))
>score1
[1] A B A C B
Levels: C <B <A
3、用cut()函数将一般的数据转换成因子或有序因子。
例1：
>exam <- c(98, 97, 52, 88, 85, 75, 97, 92, 77, 74, 70, 63, 97, 71, 98,
65, 79, 74, 58, 59, 60, 63, 87, 82, 95, 75, 79, 96, 50, 88)
>exam1 <- cut(exam, breaks = 3) #切分成3组
>exam1
[1] (82,98] (82,98] (50,66] (82,98] (82,98] (66,82] (82,98] (82,98] (66,82]
[10] (66,82] (66,82] (50,66] (82,98] (66,82] (82,98] (50,66] (66,82] (66,82]
[19] (50,66] (50,66] (50,66] (50,66] (82,98] (66,82] (82,98] (66,82] (66,82]
[28] (82,98] (50,66] (82,98]
Levels: (50,66] (66,82] (82,98]
>exam2 <- cut(exam, breaks = c(0, 59, 69, 79, 89, 100)) #切分成自己设置的组
>exam2
[1] (89,100] (89,100] (0,59] (79,89] (79,89] (69,79] (89,100] (89,100]
[9] (69,79] (69,79] (69,79] (59,69] (89,100] (69,79] (89,100] (59,69]
[17] (69,79] (69,79] (0,59] (0,59] (59,69] (59,69] (79,89] (79,89]
[25] (89,100] (69,79] (69,79] (89,100] (0,59] (79,89]
Levels: (0,59] (59,69] (69,79] (79,89] (89,100]
>attr(exam1, 'levels')
[1] "(50,66]" "(66,82]" "(82,98]"
>attr(exam2, 'levels')
[1] "(0,59]" "(59,69]" "(69,79]" "(79,89]" "(89,100]"
>attr(exam2, 'class')
[1] "factor"
#一个有序因子
>x <- factor(rep(1:5,3))
>ordered(x,labels = c('a1','a2','a3','a4','a5'))
[1] a1 a2 a3 a4 a5 a1 a2 a3 a4 a5 a1 a2 a3 a4 a5
Levels: a1 <a2 <a3 <a4 <a5
主成分分析
主成分分析（(Principal Component Analysis，PCA）是一种数据降维技巧，它能将大量相关变量转化为一组很少的不相关变量，这些无关变量称为主成分（原来变量的线性组合）。整体思想就是化繁为简，抓住问题关键，也就是降维思想。
主成分分析法是通过恰当的数学变换，使新变量——主成分成为原变量的线性组合，并选取少数几个在变差总信息量中比例较大的主成分来分析事物的一种方法。主成分在变差信息量中的比例越大，它在综合评价中的作用就越大。
因子分析
探索性因子分析法（Exploratory Factor Analysis，EFA）是一系列用来发现一组变量的潜在结构的方法。它通过寻找一组更小的、潜在的或隐藏的结构来解释已观测到的、显式的变量间的关系。
PCA与EFA模型间的区别
参见图14-1。主成分（PC1和PC2）是观测变量（X1到X5）的线性组合。形成线性组合的权重都是通过最大化各主成分所解释的方差来获得，同时还要保证个主成分间不相关。相反，因子（F1和F2）被当做是观测变量的结构基础或“原因”，而不是它们的线性组合。
R的基础安装包提供了PCA和EFA的函数，分别为princomp()和factanal()。
最常见的分析步骤
(1)数据预处理。PCA和EFA都根据观测变量间的相关性来推导结果。用户可以输入原始数据矩阵或者相关系数矩阵到principal()和fa()函数中。若输入初始数据，相关系数矩阵将会被自动计算，在计算前请确保数据中没有缺失值。
(2)选择因子模型。判断是PCA（数据降维）还是EFA（发现潜在结构）更符合你的研究目标。如果选择EFA方法，你还需要选择一种估计因子模型的方法（如最大似然估计）。
(3)判断要选择的主成分/因子数目。
(4)选择主成分/因子。
(5)旋转主成分/因子。
(6)解释结果。
(7)计算主成分或因子得分。
PCA的目标是用一组较少的不相关变量代替大量相关变量，同时尽可能保留初始变量的信息，这些推导所得的变量称为主成分，它们是观测变量的线性组合。如第一主成分为：
它是k个观测变量的加权组合，对初始变量集的方差解释性最大。第二主成分也是初始变量的线性组合，对方差的解释性排第二，同时与第一主成分正交（不相关）。后面每一个主成分都最大化它对方差的解释程度，同时与之前所有的主成分都正交。理论上来说，你可以选取与变量数相同的主成分，但从实用的角度来看，我们都希望能用较少的主成分来近似全变量集。
主成分与原始变量之间的关系
（1）主成分保留了原始变量绝大多数信息。
（2）主成分的个数大大少于原始变量的数目。
（3）各个主成分之间互不相关。
（4）每个主成分都是原始变量的线性组合。
数据集USJudgeRatings包含了律师对美国高等法院法官的评分。数据框包含43个观测，12个变量。
用来判断PCA中需要多少个主成分的准则：
根据先验经验和理论知识判断主成分数；
根据要解释变量方差的积累值的阈值来判断需要的主成分数；
通过检查变量间k × k的相关系数矩阵来判断保留的主成分数。
最常见的是基于特征值的方法。每个主成分都与相关系数矩阵的特征值相关联，第一主成分与最大的特征值相关联，第二主成分与第二大的特征值相关联，依此类推。
Kaiser-Harris准则建议保留特征值大于1的主成分，特征值小于1的成分所解释的方差比包含在单个变量中的方差更少。Cattell碎石检验则绘制了特征值与主成分数的图形。这类图形可以清晰地展示图形弯曲状况，在图形变化最大处之上的主成分都可保留。最后，你还可以进行模拟，依据与初始矩阵相同大小的随机数据矩阵来判断要提取的特征值。若基于真实数据的某个特征值大于一组随机数据矩阵相应的平均特征值，那么该主成分可以保留。该方法称作平行分析。
图形解读：线段和x符号组成的图（蓝色线）：特征值曲线；
红色虚线：根据100个随机数据矩阵推导出来的平均特征值曲线；
绿色实线：特征值准则线（即：y=1的水平线）
判别标准：特征值大于平均特征值，且大于y=1的特征值准则线，被认为是可保留的主成分。根据判别标准，保留1个主成分即可。
fa.parallel函数学习
fa.parallel(data,n.obs=,fa=”pc”/”both”,n.iter=100,show.legend=T/F)
data：原始数据数据框；
n.obs：当data是相关系数矩阵时，给出原始数据（非原始变量）个数，data是原始数据矩阵时忽略此参数；
fa：“pc”为仅计算主成分，“fa”为因子分析，“both”为计算主成分及因子；
n.iter：模拟平行分析次数；
show.legend：显示图例。
principal(r, nfactors = , rotate = , scores = )
r：相关系数矩阵或原始数据矩阵；
nfactors：设定主成分数（默认为1）；
rotate：指定旋转的方法，默认最大方差旋转（varimax）。
scores：设定是否需要计算主成分得分（默认不需要）。
PC1栏包含了成分载荷，指观测变量与主成分的相关系数。如果提取不止一个主成分，那么还将会有PC2、PC3等栏。成分载荷（component loadings）可用来解释主成分的含义，解释主成分与各变量的相关程度。
h2栏为成分公因子方差，即主成分对每个变量的方差解释度。
u2栏为成分唯一性，即方差无法被主成分解释的部分（1-h2）。
SS loadings包含了与主成分相关联的特征值，其含义是与特定主成分相关联的标准化后的方差值，即可以通过它来看90%的方差可以被多少个成分解释，从而选出主成分（即可使用nfactors=原始变量个数来把所有特征值查出，当然也可以直接通过eigen函数对它的相关矩阵进行查特征值）。
Proportion Var表示每个主成分对整个数据集的解释程度。
Cumulative Var表示各主成分解释程度之和。
Proportion Explained及Cumulative Proportion分别为按现有总解释方差百分比划分主成分及其累积百分比。
结果解读：第一主成分（PC1）与每个变量都高度相关，也就是说，它是一个可用来进行一般性评价的维度。ORAL变量99.1%的方差都可以被PC1来解释，仅仅有0.91%的方差不能被PC1解释。第一主成分解释了11个变量92%的方差。
结果解读：通过碎石图可以判定选择的主成分个数为2个。
结果解读：从结果Proportion Var： 0.58和0.22可以判定，第一主成分解释了身体测量指标58%的方差，而第二主成分解释了22%，两者总共解释了81%的方差。对于高度变量，两者则共解释了其88%的方差。
旋转是一系列将成分载荷阵变得更容易解释的数学方法，它们尽可能地对成分去噪。旋转方法有两种：使选择的成分保持不相关（正交旋转），和让它们变得相关（斜交旋转）。旋转方法也会依据去噪定义的不同而不同。最流行的正交旋转是方差极大旋转，它试图对载荷阵的列进行去噪，使得每个成分只是由一组有限的变量来解释（即载荷阵每列只有少数几个很大的载荷，其他都是很小的载荷）。 结果列表中列的名字都从PC变成了RC，以表示成分被旋转。
当scores = TRUE时，主成分得分存储在principal()函数返回对象的scores元素中。
如果你的目标是寻求可解释观测变量的潜在隐含变量，可使用因子分析。
EFA的目标是通过发掘隐藏在数据下的一组较少的、更为基本的无法观测的变量，来解释一
组可观测变量的相关性。这些虚拟的、无法观测的变量称作因子。（每个因子被认为可解释多个
观测变量间共有的方差，因此准确来说，它们应该称作公共因子。）
其中 是第i个可观测变量（i = 1…k）， 是公共因子（j = 1…p），并且p<k。 是 变量独有的部分（无法被公共因子解释）。 可认为是每个因子对复合而成的可观测变量的贡献值。
碎石检验的前两个特征值（三角形）都在拐角处之上，并且大于基于100次模拟数据矩阵的特征值均值。对于EFA，Kaiser-Harris准则的特征值数大于0，而不是1。
结果解读：PCA结果建议提取一个或者两个成分，EFA建议提取两个因子。
fa(r, nfactors=, n.obs=, rotate=, scores=, fm=)
r是相关系数矩阵或者原始数据矩阵；
nfactors设定提取的因子数（默认为1）；
n.obs是观测数（输入相关系数矩阵时需要填写）；
rotate设定旋转的方法（默认互变异数最小法）；
scores设定是否计算因子得分（默认不计算）；
fm设定因子化方法（默认极小残差法）。
与PCA不同，提取公共因子的方法很多，包括最大似然法（ml）、主轴迭代法（pa）、加权最小二乘法（wls）、广义加权最小二乘法（gls）和最小残差法（minres）。统计学家青睐使用最大似然法，因为它有良好的统计性质。
结果解读：两个因子的Proportion Var分别为0.46和0.14，两个因子解释了六个心理学测试60%的方差。
结果解读：阅读和词汇在第一因子上载荷较大，画图、积木图案和迷宫在第二因子上载荷较大，非语言的普通智力测量在两个因子上载荷较为平均，这表明存在一个语言智力因子和一个非语言智力因子。
正交旋转和斜交旋转的不同之处。
对于正交旋转，因子分析的重点在于因子结构矩阵（变量与因子的相关系数），而对于斜交旋转，因子分析会考虑三个矩阵：因子结构矩阵、因子模式矩阵和因子关联矩阵。
因子模式矩阵即标准化的回归系数矩阵。它列出了因子预测变量的权重。因子关联矩阵即因子相关系数矩阵。
图形解读：词汇和阅读在第一个因子（PA1）上载荷较大，而积木图案、画图和迷宫在第二个因子（PA2）上载荷较大。普通智力测验在两个因子上较为平均。
与可精确计算的主成分得分不同，因子得分只是估计得到的。它的估计方法有多种，fa()函数使用的是回归方法。
R包含了其他许多对因子分析非常有用的软件包。FactoMineR包不仅提供了PCA和EFA方法，还包含潜变量模型。它有许多此处我们并没考虑的参数选项，比如数值型变量和类别型变量的使用方法。FAiR包使用遗传算法来估计因子分析模型，它增强了模型参数估计能力，能够处理不等式的约束条件，GPArotation包则提供了许多因子旋转方法。最后，还有nFactors包，它提供了用来判断因子数目的许多复杂方法。
主成分分析
1.数据导入
数据结构：对10株玉米进行了生物学性状考察，考察指标有株高，穗位，茎粗，穗长，秃顶，穗粗，穗行数，行粒数。
结果解读：选择2个主成分即可保留样本大量信息。
3.提取主成分
结果解读：主成分1可解释44%的方差，主成分2解释了26%的方差，合计解释了70%的方差。
4.获取主成分得分
5.主成分方程
PC1 = 0.27 株高 - 0.04 穗位 + 0.29 茎粗 - 0.01 穗长 - 0.21 秃顶 - 0.13 穗粗 + 0.16 穗行数 + 0.24 行粒数
PC2 = -0.01 株高 + 0.36 穗位 - 0.10 茎粗 + 0.41 穗长 - 0.08 秃顶 + 0.43 穗粗 - 0.15 穗行数 + 0.01 行粒数
图形解读：此图反映了变量与主成分的关系，三个蓝点对应的RC2值较高，点上的标号2，4，6对应变量名穗位，穗长，穗粗，说明第2主成分主要解释了这些变量，与这些变量相关性强；黑点分别对应株高，茎粗，穗行数，行粒数，说明第一主成分与这些变量相关性强，第一主成分主要解释的也是这些变量，而5号点秃顶对于两个主成分均没有显示好的相关性。
因子分析
图解：可以看到需要提取4个因子。
2.提取因子
结果解读：因子1到4解释了80%的方差。
3.获取因子得分
图解：可以看出，因子1和因子2的相关系数为0.4，行粒数，株高，茎粗，秃顶在因子1的载荷较大，穗长，穗位在因子2上的载荷较大；因子3只有穗行数相关，因子4只有穗粗相关。
参考资料：
