KL距离与JS散度

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KL距离与JS散度,第1张

KL距离，即Kullback-Leibler Divergence，也被成为信息熵（Relative Entropy）。一般KL距离用来衡量同意事件中，两种概率分布的相似程度，这个值越小，则相似程度越高。

计算的实例：

我们抛两枚硬币，真实的概率为A，但是我们只能通过观察得到B和C，如下所示。

A(0) = 1/2, A(1) = 1/2

B(0) = 1/4, A(1) = 3/4

C(0) = 1/8, C(1) = 7/8

进一步计算A与B和C的KL距离：

D(A||B) = (1/2)log((1/2)/(1/4)) + (1/2)log((1/2)/(3/4)) = 1/2log(4/3)

D(A||C) = (1/2)log((1/2)/(1/8)) + (1/2)log((1/2)/(7/8)) = 1/2log(16/7)

可以看到，B比C更接近与实际的A分布。

需要注意的是，KL距离虽然叫做距离，但是并不是真正的距离，不符合距离的对称性和三角不等式。

JS散度是基于KL距离提出的改进，取值在0到1之间：

JS散度是对称的并且取值在0-1之间，另外，KL与JSD都存在一个问题，在很极端的情况下，KL值没有意义，JSD会趋于一个常数，这样在算法中梯度变为了0.

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KL散度又称相对熵，信息散度，信息增益。KL散度是两个概率分布P和Q差别的非对称性的度量。在经典境况下，P表示数据的真实分布，Q表示数据的理论分布，模型分布。

定义如下：

对数函数为凸函数，所以KL散度的值为分复数。

KL散度有时也称为KL距离，但它并不满足距离的性质：

1、KL散度不是对称的；

2、KL散度不满足三角不等式。

JS散度是度量两个概率分布的相似度，是基于KL散度的变体，解决了KL散度非对称的问题。

定义如下：

KL散度和JS散度度量的时候都有一个问题：如果两个分布P,Q距离较远，完全没有重叠的时候，KL散度是没有意义的，在学习的时候，这就意味着在这一点的梯度为0，即梯度消失了。

Wasserstein距离度量的是两个管理分布之间的距离。定义如下：

为 和 的分布组合起来的所有可能的联合分布的集合。对于每一个可能的联合分布 ，可以从中采样(x,y)~r得到一个样本x和y，并计算出这对样本的距离||x-y||，进而可以计算样本对距离的期望值。在所有可能的联合分布中能够对这个期望取到的下界就是Wasserstein距离。

直观上就是在r这个路径的规划下把土堆 挪到土堆 所需要的消耗。Wasserstein距离就是在最优的路径下的最小消耗。

Wasserstein距离相比于KL散度和JS散度的优势在于：即使两个分布的支撑没有重叠或者重叠较少，仍然能够反映两个分布之间的远近。

信息是一个很抽象的概念，如何衡量一句话或一篇文章的信息量是一个比较难的问题。有时候，人们会说一条新闻信息量很大，或认为信息量很小，但却很难描述这条信息的信息量具体是多少，为什么？直到1948年，香农提出一个“信息熵”的概念，才解决的信息的量化问题。

熵，可以理解成不确定性。比如想很衡量某一件事的信息量是多少，设该事件发生的概率为 ，那么根据香农提出的“信息熵”，该事件的信息量可以表示成：

上面这个式子就叫做自信息。

也就是说，某件事发生的概率越小，其信息量越大。好比有人跟你说：明天太阳从东边升起。在地球上的你来说，这显然是一句废话，信息量为零。但是如果改成：明天太阳从西面升起。这信息量分分钟上微博热搜。

根据上面的定义，就可以引出一个随机变量 的平均信息熵（期望）：

随机变量的熵是随机变量不确定性的度量，它是描述一个随机变量平均所需信息量的度量。

在信息论中，KL散度也叫相对熵，它用于衡量两个概率分布的差异性。定义如下：

其中 是目标分布，这个分布是不知道的，但是我们有属于这个分布的样本。 是用于近似 的分布。当这个两个分布相等时，他们的相对熵就等于0.

对KL散度做适当变形：

前面一部分就是 信息熵，而后面一部分就是 交叉熵 ：

因为 来自于真是的数据分布，因此第一部分可以看成是常数。也就说在特定条件下，交叉熵等价于KL散度。