具体过程如下：
1 4 -1 2
2 -1 -3 1
1 -5 -4 2
3 -6 -7 3
第2行,第3行,第4行, 加上第1行×-2,-1,-3
1 4 -1 2
0 -9 -1 -3
0 -9 -3 0
0 -18 -4 -3
第1行,第3行,第4行, 加上第2行×4/9,-1,-2
1 0 -13/9 2/3
0 -9 -1 -3
0 0 -2 3
0 0 -2 3
第1行,第2行,第4行, 加上第3行×-13/18,-1/2,-1
1 0 0 -3/2
0 -9 0 -9/2
0 0 -2 3
0 0 0 0
第2行,第3行, 提取公因子-9,-2
1 0 0 -3/2
0 1 0 1/2
0 0 1 -3/2
0 0 0 0
则向量组秩为3，且α1, α2, α3是一个极大线性无关组
α4=-3α1/2+α2/2-3α3/2
1 7 2 5 2
3 0 -1 1 -1
2 14 0 6 4
0 3 1 2 1
第2行,第3行, 加上第1行×-3,-2
1 7 2 5 2
0 -21 -7 -14 -7
0 0 -4 -4 0
0 3 1 2 1
第1行,第4行, 加上第2行×1/3,1/7
1 0 -1/3 1/3 -1/3
0 -21 -7 -14 -7
0 0 -4 -4 0
0 0 0 0 0
第1行,第2行, 加上第3行×-1/12,-7/4
1 0 0 2/3 -1/3
0 -21 0 -7 -7
0 0 -4 -4 0
0 0 0 0 0
第2行,第3行, 提取公因子-21,-4
1 0 0 2/3 -1/3
0 1 0 1/3 1/3
0 0 1 1 0
0 0 0 0 0
则向量组秩为3，且α1, α2, α3是一个极大线性无关组
α4=2α1/3+α2/3+α3
α5=-α1/3+α2/3
1 1 2 2 2
2 0 -1 1 2
1 3 0 -2 4
2 1 1 2 3
第2行,第3行,第4行, 加上第1行×-2,-1,-2
1 1 2 2 2
0 -2 -5 -3 -2
0 2 -2 -4 2
0 -1 -3 -2 -1
第1行,第3行,第4行, 加上第2行×1/2,1,-1/2
1 0 -1/2 1/2 1
0 -2 -5 -3 -2
0 0 -7 -7 0
0 0 -1/2 -1/2 0
第1行,第2行,第4行, 加上第3行×-1/14,-5/7,-1/14
1 0 0 1 1
0 -2 0 2 -2
0 0 -7 -7 0
0 0 0 0 0
第2行,第3行, 提取公因子-2,-7
1 0 0 1 1
0 1 0 -1 1
0 0 1 1 0
0 0 0 0 0
则向量组秩为3，且α1, α2, α3是一个极大线性无关组
α4=α1-α2+α3
α5=α1+α2
假设集合A={a,b}，集合B={0,1,2}，则两个集合的笛卡尔积为{(a,0),(a,1),(a,2),(b,0),(b,1),(b,2)}。可以扩展到多个集合的情况。类似的例子有，如果A表示某学校学生的集合，B表示该学校所有课程的集合，则A与B的笛卡尔积表示所有可能的选课情况。 [编辑本段]笛卡尔积的运算性质 由于有序对<x,y>中x,y的位置是确定的，因此A×B的记法也是确定的，不能写成B×A
笛卡尔积也可以多个集合合成，A1×A2×…×An
笛卡尔积的运算性质 一般不能交换
笛卡尔积，把集合A，B合成集合A×B，规定
A×B＝{<x,y>½xÎAÙyÎB}
在任意集合A上都可以定义笛卡尔积因为对任意两个集合A和B，用A中元素为第一元素，B中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合就是集合A和B的笛卡尔积．当集合A = B 时，笛卡尔积就记作A A． [编辑本段]推导过程 给定一组域D1，D2，…，Dn，这些域中可以有相同的。D1，D2，…，Dn的笛卡尔积为：
D1×D2×…×Dn＝｛（d1，d2，…，dn）｜di∈Di，i＝1，2，…，n｝
所有域的所有取值的一个组合不能重复
例 给出三个域：
D1=SUPERVISOR ={ 张清玫，刘逸 }
D2=SPECIALITY={计算机专业，信息专业}
D3=POSTGRADUATE={李勇，刘晨，王敏}
则D1，D2，D3的笛卡尔积为D：
D=D1×D2×D3 ＝
｛(张清玫，计算机专业，李勇)，(张清玫，计算机专业，刘晨)，
(张清玫，计算机专业，王敏)，(张清玫，信息专业，李勇)，
(张清玫，信息专业，刘晨)，(张清玫，信息专业，王敏)，
(刘逸，计算机专业，李勇)，(刘逸，计算机专业，刘晨)，
(刘逸，计算机专业，王敏)，(刘逸，信息专业，李勇)，
(刘逸，信息专业，刘晨)，(刘逸，信息专业，王敏) ｝
这样就把D1,D2,D3这三个集合中的每个元素加以对应组合，形成庞大的集合群。
本个例子中的D中就会有2X2X3个元素，如果一个集合有1000个元素，有这样3个集合，他们的笛卡尔积所组成的新集合会达到十亿个元素。假若某个集合是无限集，那么新的集合就将是有无限个元素。 [编辑本段]序偶与笛卡尔积 在日常生活中，有许多事物是成对出现的，而且这种成对出现的事物，具有一定的顺序。例如，上，下；左，右；3〈4；张华高于李明；中国地处亚洲；平面上点的坐标等。一般地说，两个具有固定次序的客体组成一个序偶，它常常表达两个客体之间的关系。记作〈x，y〉。上述各例可分别表示为〈上，下〉；〈左，右〉；〈3，4〉；〈张华，李明〉；〈中国，亚洲〉；〈a，b〉等。
序偶可以看作是具有两个元素的集合。但它与一般集合不同的是序偶具有确定的次序。在集合中{a，b}={b，a}，但对序偶〈a，b〉≠〈b，a〉。
设x，y为任意对象，称集合｛｛x｝,｛x,y｝｝为二元有序组，或序偶（ordered pairs），简记为<x,y> 。称x为<x,y>的第一分量，称y为第二分量。
定义3-41 对任意序偶<a，b> , <c, d > ,<a，b> = <c, d > 当且仅当a＝c且b = d 。
递归定义n元序组 <a1，… , an>
<a1，a2> =｛｛a1｝，｛a1 , a2｝｝
<a1 , a2 , a3 > = ｛ ｛a1 , a2｝,｛a1 , a2 , a3｝｝
= < <a1 , a2 > , a3 >
<a1，…an> = <<a1，…an-1>, an>
两个n元序组相等
< a1，…an >= < b1，…bn >Û(a1=b1) ∧ …∧ (an=bn)
定义3-42 对任意集合 A1，A2 , …，An，
（1）A1×A2，称为集合A1，A2的笛卡尔积(Cartesian product)，定义为
A1 ×A2=｛x | $u $v(x = <u,v>∧u ÎA1∧vÎA2)｝=｛<u,v> | u ÎA1∧vÎA2｝
（2）递归地定义 A1 × A2× … × An
A1 × A2×… × An= (A1× A2 × …× An-1)×An
例题1 若A={α，β}，B={1，2，3}，求A×B，A×A，B×B以及（A×B）Ç（B×A）。
解 A×B={〈α，1〉，〈α，2〉，〈α，3〉，〈β，1〉，〈β，2〉，<β，3〉}
B×A={〈1，α〉，〈1，β〉，〈2，α〉，〈2，β〉，〈3，α〉，〈3，β〉}
A×A={〈α，α〉，〈α，β〉，〈β，α〉，〈β，β〉}
B×B={〈1，1〉，〈1，2〉，〈1，3〉，〈2，1〉，〈2，2〉，〈2，3〉，〈3，1〉，〈3，2〉，〈3，3〉}
（A×B）Ç（B×A）=Æ
由例题1可以看到（A×B）Ç（B×A）=Æ
我们约定若A=Æ或B=Æ，则A×B=Æ。
由笛卡尔定义可知：
（A×B）×C={〈〈a，b〉，c〉|（〈a，b〉∈A×B）∧（c∈C）}
={〈a，b，c〉|（a∈A）∧（b∈B）∧（c∈C）}
A×（B×C）={〈a，〈b，c〉〉|（a∈A）∧（〈b，c〉∈B×C）}
由于〈a，〈b，c〉〉不是三元组，所以
（A×B）×C ≠A×（B×C）
定理3-41 设A, B, C为任意集合，表示 È，Ç或 – 运算，那么有如下结论：
笛卡尔积对于并、交差运算可左分配。即：
A×(BC)＝(A×B)(A×C)
笛卡尔积对于并、交差运算可右分配。即：
(BC) ×A＝(B×A)(C×A)
¤ 当表示 È时，结论（1）的证明思路:(讨论叙述法)
先证明A×(B È C)Í(A×B) È (A×C) 从<x,y>∈A×(BÈC)出发，推出<x,y>∈(A ×B) È (A×C)
再证明(A×B) È (A×C) Í A×(B È C)
从<x,y>∈(A×B) È (A×C)出发，推出<x,y>∈A×(BÈC)
当表示 È时，结论（2）的证明思路:(谓词演算法) 见P-103页。¤
定理3-42 设A, B, C为任意集合，若C ≠ F，那么有如下结论：
AÍBÛ(A×C ÍB×C) Û (C×AÍC×B) ¤
定理前半部分证明思路 :(谓词演算法)
先证明AÍB Þ (A×CÍB×C)
以AÍB 为条件，从<x,y>∈A×C出发，推出<x,y>∈B×C
得出(A×CÍB×C)结论。
再证明(A×C ÍB×C) Þ AÍB
以C≠F为条件，从x∈A出发，对于y∈C，利用Þ附加式，推出x∈B
得出(AÍB)结论。 见P-103页。 ¤
定理3-43 设A, B, C, D为任意四个非空集合，那么有如下结论：
A×B Í C×D的充分必要条件是AÍ C，BÍ D
¤证明思路:(谓词演算法)
先证明充分性： A×B Í C×D Þ AÍ C，BÍ D
对于任意的x∈A、y∈B，从<x,y>∈A×B出发，利用条件A×BÍ C×D， <x,y>∈C×D，推出x∈C， y∈D。
再证明必要性： AÍ C，BÍ D ÞA×BÍ C×D
对于任意的x∈A、y∈B，从<x,y>∈A×B出发，推出<x,y>∈C×D。
笛卡尔（Descartes）乘积又叫直积。设A、B是任意两个集合，在集合A中任意取一个元素x，在集合B中任意取一个元素y，组成一个有序对（x，y），把这样的有序对作为新的元素，他们的全体组成的集合称为集合A和集合B的直积，记为A×B，即A×B={（x，y）|x∈A且y∈B}。
将 f(x)=(1+x)^α 展成Taylor 级数：
f(x) = 1+αx+α(α-1)x^2/2+α(α-1)(α-2)x^3/6+；
当 x很小的时候，忽略 x² 及其以上的高次项，保留一次项得到：
f(x) ≈ 1 + α x (1)
用于作近似计算。
举例：f(x) = (1+x)^17 计算：f(003)=
利用近似公式(1)，
f(003) = 1 + 17×003 = 151
精确值 f(003)=103^17≈165 误差：8%，
表明一阶近似（1）的精度不是很高，除非x值很小！为了提高近似的精度，可以保留
二次项： f(x) ≈ 1 + α x + α(α-1)x^2/2 (2)
还以上题为例，计算
f(003)=1+17×003+17×16×003^2/2
= 151+01224
= 16324 //: 误差只有1%了！
这些内容已成近似计算的基本方法。
因为a⊥（a-2b）
所以a×（a-2b）=-1
a²-2ab=﹣1
a×a-2×a×b×cosα=﹣1
（α为向量a和b的夹角）
1-4cosα=﹣1
cosα=½
α=60°
画一个
平行四边形
abcd，ab=2
bc=2
∠abc=60°
则所求的2a+b的绝对值=向量BA+向量BC
的绝对值=bd的长度=2√3
