![R语言 > pairs(iris[,1:4]) > pairs(iris[1:4]) 这俩语句画的图一样，，那个逗号是干嘛的？？](/aiimages/R%E8%AF%AD%E8%A8%80+%26amp%3Bgt%3B+pairs%28iris%5B%2C1%3A4%5D%29+%26amp%3Bgt%3B+pairs%28iris%5B1%3A4%5D%29+%E8%BF%99%E4%BF%A9%E8%AF%AD%E5%8F%A5%E7%94%BB%E7%9A%84%E5%9B%BE%E4%B8%80%E6%A0%B7%EF%BC%8C%EF%BC%8C%E9%82%A3%E4%B8%AA%E9%80%97%E5%8F%B7%E6%98%AF%E5%B9%B2%E5%98%9B%E7%9A%84%EF%BC%9F%EF%BC%9F.png)
1） R对加法作成一个群，叫做加群（单位元称为零元，一般用'0'表示；a的逆元一般用‘-a’表示）
2） R对乘法满足结合律： (ab)c=a(bc)
3） 乘法对加法满足左右分配律：a(b+c)=ab+ac，(b+c)a=ba+ca
其中a,b,c为R中任意元素。则称R对这两个代数运算作成一个环。
环R对乘法满足交换律，则称R为交换环（可换环）；否则称为非交换环（非可换环）。
如果环R含有有限个元素，称环R为有限环；否则为无限环。
有限环R元素个数称为R的阶；无限环的阶为无限。环R的阶用|R|表示。
零乘环：设R是一个加群，再对R中任意元素a,b规定 ab=0。R显然是一个环，称作零乘环。
定义：环R中元素e，对R中每个元素a都有ea=a，则称e是环R的一个左单位元。如果ae=a，则称e是环R的由单位元。环R中既是左单位元又是右单位元，叫做R的单位元。如果环R有单位元，则显然是唯一的，一般用‘1’表示。
环中元素的一些乘法规则：
1）0a=a0 (0是环R的零元，也就是加群的单位元)
证： 因为 0a+0a=(0+0)a=0a，也就是 0a是0a关于加法的逆元，而加法的单位元是0(零元)，故 0a=-(0a)=0
a0+a0=a(0+0)=a0，故a0=0。因此 0a=a0=0 (证毕)
2) (-a)b=a(-b)=-ab
证：因为 (-a)b+ab=(-a+a)b=0b=0，故 (-a)b=-(ab)。
a(-b)+ab=a(-b+b)=a0=0， 故a(-b)=-(ab)。 （证毕）
3）(-a)(-b)=ab
证：(-a)(-b)=a[-(-b)]=ab。 （证毕）
4）c(a-b)=ca-cb,(a-b)c=ac-bc
证：c(a-b)=c[a+(-b)]=ca+c(-b)=ca-cb,
(a-b)c=[a+(-b)]c=ac+(-b)c=ac-bc。 （证毕）
5） (∑i=1mai)(∑j=1nbj)=∑i=1m∑j=1naibj
证： 当m=1,n=1时，显然成立。
当m=1,n=2时,就是左分配律，显然成立。
设m=1,n=q>1时成立，则 (∑i=11ai)(∑j=1qbj)=a1(∑j=1qbj)=a1(b1+...+bq)=a1b1+...a1bq
则，n=q+1时， a1(b1+...+bq+bq+1)=a1[(b1+...+bq)+bq+1]=a1b1+...a1bq+a1bq+1 也成立。
因此对，m=1,n大于等于1都成立。 同样可对m=2,及m大于2用数学归纳法证明。
（证毕）
6）(ma)(nb)=(na)(mb)=(mn)(ab)，其中m,n为任意整数
证：当m,n为正整数，显然就是5）的特殊情况。当m,n中有一个为零，显然成立。当m,n中有负整数时，
例如m<0,则设m=-q (q>0),则ma=-qa=q(-a)，类似可得。（证毕）
环中，正整数幂， an=aa...a (n个a相乘)。规定， a0=1 。
当环有单位元，并且元素a有逆元（乘法来说），即存在元素b，使得ab=ba=1,还可以对a引入负整数幂的概念
a−1=(a−1)n
子环：设S是环R的一个非空子集，如果S对R的加法与乘法也作成一个环，则称S是R的子环，记作 S≤R 或 R≥S 。
定理：环R的非空子集S作成子环的充要条件是
a,b∈S⇒a−b∈S
a,b∈S⇒ab∈S
证： 由环的定义显然可得。（证毕）
左零因子：设 a≠0 是环R的一个元素，如果R中存在元素 b≠0 ,使得ab=0,则称a为环R的一个左零因子。
右零因子：设 a≠0 是环R的一个元素，如果R中存在元素 b≠0 ,使得ba=0,则称a为环R的一个右零因子。
左、右零因子，统称为零因子。只有必要时才区分。左或者右。
正则元：环R中既不是左零因子也不是右零因子的元素，称为正则元。
定理：环R中，若a不是左零因子，则
ab=ac,a≠0⇒b=c
若a不是右零因子，则
ba=ca,a≠0⇒b=c
证：由ab=ac得，a(b-c)=0，由于 a≠0 且不是左零因子，故b-c=0,b=c同理可证另一结论。（证毕）
整环：阶大于1，有单位元且无零因子的交换环称为整环。
特征：若环R的元素对加法有最大阶n，则称n为环R的特征（或特征数）。
若环R的元素对加法无最大阶，则称R的特征是无限（或零）。用char R 表示环R的特征。
定理：设R是一个无零因子的环且|R|>1,则
1）R中所有非零元素的阶（对加法）均相同；
2）若R的特征有限，则必为素数。
证：1）若R中每个元素的阶均为无限，已证。若R中存在某个元素 a≠0 的阶为n，则在R中任取 b≠0 ,有
a(nb)=(na)b=0b=0。
但a≠0，R又无零因子，故 a(nb)=0⇒nb=0 ,所以 |b|≤n 。
设 |b|=m,则(ma)b=a(mb)=0,ma=0, 故 n | m。从而 n≤m=|b| 。因此|b|=n。即1）得证。
2）设 charR=n>1,(n=n1n2,1<ni<n) ,则R中任取 a≠0 。由于R中每个元素得阶都是n，故
n1a≠0,n2a≠0 ,
但， (n1a)(n2a)=n1n2a2=na2=0 ,这与R是无零因子环矛盾。故n必是素数。
（证毕）
定理：若环R有单位元，则单位元在加群（R，+）中得阶就是R的特征。
证：若单位元1在加群中的阶是无限，则R 的特征当然是无限；若1的阶是正整数n，则R中任取 a≠0
有 na=(n∙1)a=0a=0 ,即n是R中非零元素的最大阶，即char R = n。（证毕）
立方计算公式和方法：立方的算法是三个相同的数相乘，得出这个数的立方，如8×8×8叫做8的立方。另外立方米是量词。立方米是体积单位，用于体积的计算，符号表示为m3。长方体的立方即是体积=长×宽×高；正方体的立方即是体积=棱长x棱长x棱长。立方定义
求出立方体的棱长。棱长=体积(注意:如果棱长单位是厘米，体积单位是立方厘米，写作cm如果棱长单位是米，体积单位是立方米，写作m，以此类推）。立方等于它本身的数只有1，0，-1。正数的立方是正数，0的立方是0，负数的立方是负数(拓展:负数的奇数次幂都是负数)。
计算立方
计算立方就是计算体积。计算物质的体积=重量÷密度(也叫比重)。计算容器的体积=长X宽x高。计算物质体积以水为例，有水2顿，它的体积是2吨水的体积=2吨÷1吨′/立方米=2立方米。计算容器的体积的例子，一个长方形的长为2米，宽为1米，高为0.5米，其侍积为2米x1米-x0.5米=1立方米。
立方的计算方式
立方的计算方法是计算出物体的体积！然后就计算出了立方！比如，长乘宽乘高，就得出物体的体积，就是立方了！
立方也叫三次方
三个相同的数相乘，叫作这个数的立方。量词，用于体积，一般指立方米。在图形方面，立方是测量物体体积的，如立方米、立方分米、立方厘米等常用单位。
