即a^2+b^2=c^2,a,b,c∈n
又由于，任何一个勾股数组(a,b,c)内的三个数同时乘以一个整数n得到的新数组(na,nb,nc)仍然是勾股数，所以一般我们想找的是a,b,c互质的勾股数组。
关于这样的数组，比较常用也比较实用的套路有以下两种：
1、当a为大于1的奇数2n+1时，b=2*n^2+2*n,
c=2*n^2+2*n+1。
实际上就是把a的平方数拆成两个连续自然数，例如：
n=1时(a,b,c)=(3,4,5)
n=2时(a,b,c)=(5,12,13)
n=3时(a,b,c)=(7,24,25)
...
...
这是最经典的一个套路，而且由于两个连续自然数必然互质，所以用这个套路得到的勾股数组全部都是互质的。
2、当a为大于4的偶数2n时，b=n^2-1,
c=n^2+1
也就是把a的一半的平方分别减1和加1，例如：
n=3时(a,b,c)=(6,8,10)
n=4时(a,b,c)=(8,15,17)
n=5时(a,b,c)=(10,24,26)
n=6时(a,b,c)=(12,35,37)
...
...
这是次经典的套路，当n为奇数时由于(a,b,c)是三个偶数，所以该勾股数组必然不是互质的；而n为偶数时由于b、c是两个连续奇数必然互质，所以该勾股数组互质。
所以如果你只想得到互质的数组，这条可以改成，对于a=4n
(n>=2),
b=4*n^2-1,
c=4*n^2+1，例如：
n=2时(a,b,c)=(8,15,17)
n=3时(a,b,c)=(12,35,37)
n=4时(a,b,c)=(16,63,65)
...
...
如果可以是无理数的话，则随便找几组都是可以的，如1/3=(1/3)^2+((根号2)/3)^2
如果要是有理分数的话，是不可能找到两个分数平方和为1/3的。
理由如下：
设若1/3=(a/b)^2+(c/d)^2
则1/3=((ad)^2+(bc)^2)/(bd)^2
因此(bd)^2这个平方数中包含3这个因子，从而可以设之为3*3*n*n，n为正整数。
那么也就有(ad)^2+(bc)^2=3n^2
这个式子可以写为3n^2=p^2+q^2，记为（1）式，其中p、q都是正整数，可以说明不可能存在一组正整数n,p,q使得该式子成立。
我们设p除3的余数为k1，q除3的余数是k2，则q^2+p^2除3的余数等于k1^2+k2^2除3的余数。由于(1)式左边是3n^2可以被三整除，所以k1^2+k2^2也应该能被3整除，又因为除3的余数只有0,1,2三种可能，穷举可知只可能k1、k2都等于0。
从而p、q都是3的倍数，可设p=3p'，q=3q'，其中p'和q'都是正整数。
这样就有3n^2=(3p')^2+(3q')^2，即n^2=3*(p'^2+q'^2)可见n也必须包含3这个因子，从而可设n=3n'，n'为正整数。故3n'^2=p'^2+q'^2。
这也就是说，对于任意一组满足（1）式的n,p,q而言，n、p、q都必须为3的倍数，且n/3,p/3,q/3也都是满足（1）式的一组正整数。那我们取满足（1）的n,p,q中最小的一组，则由上面的推证可知n/3,p/3,q/3是满足（1）的更小的一组正整数，这显然是前后矛盾的。
从而说明不存在使得（1）成立的一组正整数n,p,q，那么也就不会存在有理分数a/b和c/d使得1/3=(a/b)^2+(c/d)^2成立。
用公式：x=a²-b²
y=2ab
z=a²+b²
则x²+y²=z²
a,b满足a>b，互质，一奇一偶，以上公式将给出x奇y偶的两两互质的勾股数组。
因为x,y地位对称，交换二者的值可得x偶y奇的勾股数组。另外如果将x,y,z同扩大整数k倍，仍是勾股数组，只不过不再互质而已.
例如取a=2,b=1，则得到(3,4,5)扩大k倍可得(3k,4k,5k)
a=3,b=2,得到(5,12,13)
