JS动态规划——青蛙跳台阶问题

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JS动态规划——青蛙跳台阶问题,第1张

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级台阶。求该青蛙跳上一个 n 级的台阶总共有多少种跳法。

答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。

此类求 多少种可能性 的题目一般都有 递推性质 ，即 f(n)f(n) 和 f(n-1)f(n−1)…f(1)f(1) 之间是有联系的。

设跳上 n 级台阶有 f(n) 种跳法。在所有跳法中，青蛙的最后一步只有两种情况： 跳上 1 级或 2 级台阶。

当为 1 级台阶： 剩 n-1 个台阶，此情况共有 f(n-1) 种跳法；

当为 2 级台阶： 剩 n-2 个台阶，此情况共有 f(n-2) 种跳法。

f(n) 为以上两种情况之和，即 f(n)=f(n-1)+f(n-2) ，以上递推性质为斐波那契数列。本题可转化为 求斐波那契数列第 n 项的值 。

青蛙跳台阶问题： f(0)=1 , f(1)=1 , f(2)=2,；

斐波那契数列问题： f(0)=0 , f(1)=1 , f(2)=1 。

第n阶的数量由前两阶的数量相加而来，故用动态规划。

arr[i]表示第i阶有arr[i]种方法

递推公式：arr[i] = arr[i - 1] + arr[i - 2]

arr数组初始化：arr = [null, 1, 2]，arr[0]没有意义，从i=3开始循环

遍历顺序：从前往后

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

因为n级台阶，第一步有n种跳法：跳1级、跳2级、到跳n级 跳1级，剩下n-1级，则剩下跳法是f(n-1) 跳2级，剩下n-2级，则剩下跳法是f(n-2) 所以f(n)=f(n-1)+f(n-2)+...+f(1) 因为f(n-1)=f(n-2)+f(n-3)+...+f(1) 所以f(n)=2*f(n-1)

如果target = 0,说明是直接跳过来，否则返回1；否则，总是有target中选择，把每种选择包含的步骤起来就行了，递归到0结束循环，并合并结果。

原文链接： http://blog.csdn.net/qq_22329521/article/details/52967839

递归由于调用自身，而函数调用是有时间和空间的消耗的：每一次函数调用，都需要在内存栈中分配内存空间以保存参数、返回地址及临时变量，而且往栈里压入数据和弹出数据都需要时间。

另外，递归中有可能很多计算都是重复的，从而对性能带来很大的负面影响。递归的本质是把一个问题分解成两个或者多个小问题。如果多个小问题存在互相重叠的部分，那么久存在重复的计算。

斐波那契数列

效率最低的解法

青蛙跳题目（扩展)

一只青蛙一次可以跳上一个台阶，也可以跳上2个台阶，求青蛙跳上一个n级台阶共有多少总跳法

思路：如果只有1级台阶，显然只有一种跳法，如果两个台阶，就来有种跳法

一般情况下，我们把n级台阶时的跳法看成是n的函数，记为f(n)。当n>2时，第一次跳的时候就有两种不同的选择：一是第一次只跳1级，此时跳法数目等于后面剩下的n-1级台阶的跳法数目，即为f(n-1)另一种选择是第一次跳2级，此时跳法数目等于后面剩下的n-2级台阶的跳法数目即为f(n-2)因此n级台阶的不同跳法总数是f(n)=f(n-1)+f(n-2)

青蛙跳扩展2

如果一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级台阶。。。它也可以跳上n级台阶，此时青蛙跳上一个n级台阶共有集中跳法，用数学的归纳法可以证明是f(n)=2^{（n-1）}

格子覆盖问题（扩展）

我们可以用2x1 的小矩形横着或者竖着去覆盖更大的矩形如8个2x1 的小矩形无重叠的覆盖一个2x8的大矩形，共有几种方法

思路：我们先把2x8的覆盖方法记为f(8）用第一个1x2小矩形去覆盖大矩形的最左边两个选择，竖着或者横着放，当竖着放，右边还剩下2x7的区域，它的覆盖方法即为f(7)。然后考虑横着放的情况。当1x2的小矩形横着放在左上角的时候，左下角必须和横着放一个1x2的小矩形，而在右边还剩下2x6的区域，这种情形下的覆盖方法记为f(6)，因此f（8）=f(7)+f(6)也是个斐波那契数列