一、01背包
问题描述：有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。
（1）基本思路：这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。
用子问题定义状态：即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是：f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}。
意思简要来说就是：如果不放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”，价值为f[i-1][v]；如果放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c[i]的背包中”，此时能获得的最大价值就是f[i-1][v-c[i]]再加上通过放入第i件物品获得的价值w[i]。
（2）优化空间复杂度：以上方法的时间和空间复杂度均为O(N*V)，其中时间复杂度基本已经不能再优化了，但空间复杂度却可以优化到O(V)。
先考虑上面讲的基本思路如何实现，肯定是有一个主循环i=1..N，每次算出来二维数组f[i][0..V]的所有值。那么，如果只用一个数组f[0..V]，能不能保证第i次循环结束后f[v]中表示的就是我们定义的状态f[i][v]呢？f[i][v]是由f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]两个子问题递推而来，能否保证在推f[i][v]时（也即在第i次主循环中推f[v]时）能够得到f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]的值呢？事实上，这要求在每次主循环中我们以v=V..0的顺序推f[v]，这样才能保证推f[v]时f[v-c[i]]保存的是状态f[i-1][v-c[i]]的值。伪代码如下：
for i=1..N
for v=V..0
f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]}
其中的f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]}一句恰就相当于我们的转移方程f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]}，因为现在的f[v-c[i]]就相当于原来的f[i-1][v-c[i]]。如果将v的循环顺序从上面的逆序改成顺序的话，那么则成了f[i][v]由f[i][v-c[i]]推知，与本题意不符。
（3）初始化的细节问题：我们看到的求最优解的背包问题题目中，事实上有两种不太相同的问法。有的题目要求“恰好装满背包”时的最优解，有的题目则并没有要求必须把背包装满。一种区别这两种问法的实现方法是在初始化的时候有所不同。
如果是第一种问法，要求恰好装满背包，那么在初始化时除了f[0]为0其它f[1..V]均设为-∞，这样就可以保证最终得到的f[N]是一种恰好装满背包的最优解。
如果并没有要求必须把背包装满，而是只希望价格尽量大，初始化时应该将f[0..V]全部设为0。
为什么呢？可以这样理解：初始化的f数组事实上就是在没有任何物品可以放入背包时的合法状态。如果要求背包恰好装满，那么此时只有容量为0的背包可能被价值为0的nothing“恰好装满”，其它容量的背包均没有合法的解，属于未定义的状态，它们的值就都应该是-∞了。如果背包并非必须被装满，那么任何容量的背包都有一个合法解“什么都不装”，这个解的价值为0，所以初始时状态的值也就全部为0了。
【写的伪代码，能看懂哈。。。不懂再问好了】
我copy一下别人的递归算法，假如你有时间限时的话，那我就用动态规划帮你重新code一个#include <stdio.h>
#define N 100 //物品总种数不是常量，没法根据它来决定数组的长度，只有先定义个长度了
int n//物品总种数
double limitW//限制的总重量
double totV//全部物品的总价值
double maxv//解的总价值
int option[N]//解的选择
int cop[N]//当前解的选择
struct {//物品结构
double weight
double value
}a[N]
//参数为物品i,当前选择已经达到的重量和tw,本方案可能达到的总价值
void find(int i,double tw,double tv)
{
int k
//物品i包含在当前方案的可能性
if(tw+a[i].weight <= limitW){
cop[i]=1
if(i<n-1)find(i+1,tw+a[i].weight,tv)
else{
for(k=0k<n++k)
option[k]=cop[k]
maxv=tv
}
}
cop[i]=0
//物品i不包含在当前方案的可能性
if(tv-a[i].value>maxv){
if(i<n-1)find(i+1,tw,tv-a[i].value)
else{
for(k=0k<n++k)
option[k]=cop[k]
maxv=tv-a[i].value
}
}
}
void main()
{
int k
double w,v
printf("输入物品种数:")
scanf("%d",&n)
printf("输入各物品的重量和价值:")
for(totV=0.0,k=0k<n++k){
scanf("%lf %lf",&w,&v)
a[k].weight = wa[k].value = v
totV += v
}
printf("输入限制重量:")
scanf("%lf",&limitW)
maxv=0.0
for(k=0k<n++k)cop[k]=0
find(0,0.0,totV)
for(k=0k<n++k)
if(option[k])printf("%4d",k+1)
printf("总价值为: %2f",maxv)
}
算法分析：使用贪心策略求解此类问题时，首先要选出最优的度量标准。
可供选择的度量标准有三种：价值，容量，单位价值（v/w，价值/重量）。
显然，价值高的物品容量可能太大，容量大的物品价值也可能很低。最优的度量标准是单位价值。
背包问题算法思路：
1、将各个物品按照单位价值由高到低排序；
2、取价值最高者放入背包；
3、计算背包的剩余空间；
4、重复2-3步，直到背包剩余容量=0或者物品全部装入背包为止（对于0-1背包，终止条件为背包剩余容量无法装入任意一件物品或者物品全部装入背包）。
#include<stdio.h>
void package(int n,float c,float v[],float w[],float x[])
void package0_1(int n,float c,float v[],float w[],float x[])
int main(void)
{
int n = 3
float c = 20
float v[] = {24,15,25}
float w[] = {15,10,18}//已经按照单位价值降序排列
float *x
x = (float*)malloc(sizeof(float)*n)
printf("******背包*******\n")
package(n,c,v,w,x)
printf("*******0-1背包******\n")
package0_1(n,c,v,w,x)
system("PAUSE")
}
/*
* 背包问题
* n:物品个数
* c：背包容量
* v[]:每个物品的价值
* w[]:每个物品的重量（这里已经按照单位价值降序排列 ）
* x[]:物品是否放入背包（0表示不放，1表示全部放入，0-1放入一部分）
*/
void package(int n,float c,float v[],float w[],float x[])
{
int i
for(i=0i<ni++)
{
x[i] = 0//初始状态，所有物品都没有被放入背包
}
for(i=0i<ni++)
{
if(w[i] >c)
{
break
}
x[i] = 1
c = c - w[i]
printf("放入第%d件物品，背包剩余容量%f.\n",(i+1),c)
}
if(i<=n)//还可以放入一个物品的一部分
{
x[i] = c/w[i]
printf("放入第%d件物品的%f部分.背包剩余容量为0.\n",(i+1),w[i]*x[i])
}
}
/*
* 0-1背包问题
* n:物品个数
* c：背包容量
* v[]:每个物品的价值
* w[]:每个物品的重量（这里已经按照单位价值降序排列 ）
* x[]:物品是否放入背包（0表示不放，1表示全部放入）
*/
void package0_1(int n,float c,float v[],float w[],float x[])
{
int i
for(i=0i<ni++)
{
x[i] = 0//初始状态，所有物品都没有被放入背包
}
for(i=0i<ni++)
{
if(w[i] >c)
{
break
}
x[i] = 1
c = c - w[i]
printf("放入第%d件物品，背包剩余容量%f.\n",(i+1),c)
}
}
#include<stdio.h>
void package(int n,float c,float v[],float w[],float x[])
void package0_1(int n,float c,float v[],float w[],float x[])
int main(void)
{
int n = 3
float c = 20
float v[] = {24,15,25}
float w[] = {15,10,18}//已经按照单位价值降序排列
float *x
x = (float*)malloc(sizeof(float)*n)
printf("******背包*******\n")
package(n,c,v,w,x)
printf("*******0-1背包******\n")
package0_1(n,c,v,w,x)
system("PAUSE")
}
/*
* 背包问题
* n:物品个数
* c：背包容量
* v[]:每个物品的价值
* w[]:每个物品的重量（这里已经按照单位价值降序排列 ）
* x[]:物品是否放入背包（0表示不放，1表示全部放入，0-1放入一部分）
*/
void package(int n,float c,float v[],float w[],float x[])
{
int i
for(i=0i<ni++)
{
x[i] = 0//初始状态，所有物品都没有被放入背包
}
for(i=0i<ni++)
{
if(w[i] >c)
{
break
}
x[i] = 1
c = c - w[i]
printf("放入第%d件物品，背包剩余容量%f.\n",(i+1),c)
}
if(i<=n)//还可以放入一个物品的一部分
{
x[i] = c/w[i]
printf("放入第%d件物品的%f部分.背包剩余容量为0.\n",(i+1),w[i]*x[i])
}
}
/*
* 0-1背包问题
* n:物品个数
* c：背包容量
* v[]:每个物品的价值
* w[]:每个物品的重量（这里已经按照单位价值降序排列 ）
* x[]:物品是否放入背包（0表示不放，1表示全部放入）
*/
void package0_1(int n,float c,float v[],float w[],float x[])
{
int i
for(i=0i<ni++)
{
x[i] = 0//初始状态，所有物品都没有被放入背包
}
for(i=0i<ni++)
{
if(w[i] >c)
{
break
}
x[i] = 1
c = c - w[i]
printf("放入第%d件物品，背包剩余容量%f.\n",(i+1),c)
}
}
