title: R语言中dnorm, pnorm, qnorm与rnorm以及随机数

date: 2018-09-07 12:02:00

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在R语言中，与正态分布（或者说其它分布）有关的函数有四个，分别为dnorm,pnorm,qnorm和rnorm，其中，dnorm表示密度函数，pnorm表示分布函数，qnorm表示分位数函数，rnorm表示生成随机数的函数。在R中与之类似的函数还有很多，具体的可以通过 help(Distributions) 命令去查看，对于分位数或百分位数的一些介绍可以看这篇笔记 《分位数及其应用》 ，关于正态分布的知识可以看这篇笔记 《正态分布笔记》 。

现在这篇笔记就介绍一下这些函数的区别。

R提供了多种随机数生成器(random number generators, RNG)，默认采用的是Mersenne twister方法产生的随机数，该方法是由Makoto Matsumoto和Takuji Nishimura于1997年提出来的，其循环周期是 。R里面还提供了了Wichmann-Hill、Marsaglia-Multicarry、Super-Duper、Knuth-TAOCP-2002、Knuth-TAOCP和L'Ecuyer-CMRG等几种随机数生成方法，可以通过 RNGkind() 函数进行更改，例如，如果要改为WIchmann-Hill方法，就使用如下语句：

在R中使用随机数函数，例如 rnorm() 函数来生成的随机数是不一样的，有时我们在做模拟时，为了比较不同的方法，就需要生成的随机数都一样，即重复生成相同的随机数，此时就可以使用 set.seed() 来设置随机数种子，其参数为整数，如下所示：

dnorm 中的 d 表示 density ， norm 表示正态贫，这个函数是正态分布的 概率密度(probability density)函数 。

正态分布的公式如下所示：

给定x，μ和σ后， dnorm() 这个函数返回的就是会返回上面的这个公式的值，这个值就是Z-score，如果是标准正态分布，那么上述的公式就变成了这个样子，如下所示：

现在看一个案例，如下所示：

dnorm(0,mean=0,sd=1) 由于是标准正态分布函数的概率密度，这个命令其实可以直接写为 dnorm(0) 即可，如下所示：

再看一个非标准正态分布的案例，如下所示：

虽然在 dnorm() 中，x是一个概率密度函数(PDF,Probability Density Function)的独立变量，但它也能看作是一组经过Z转换后的一组变量，现在我们看一下使用 dnorm 来绘制一个正态分布的概率密度函数曲线，如下所示：

现在使用 dnorm() 函数计算一下Z_scores的概率密度，如下所示：

现在绘图，如下所示：

从上面的结果可以看出，在每个Z-score处， dnorm 可以绘制出这个Z-score对应的正态分布的pdf的高度。

pnorm 函数中的 p 表示Probability，它的功能是，在正态分布的PDF曲线上，返回从负无穷到 q 的积分，其中这个 q 指的是一个Z-score。现在我们大概就可以猜测出 pnorm(0) 的值是0.5，因为在标准正态分布曲线上，当Z-score等于0时，这个点正好在标准正态分布曲线的正中间，那么从负无穷到0之间的曲线面积就是整个标准正态分布曲线下面积的一半，如下所示：

pnorm 函数还能使用 lower.tail 参数，如果 lower.tail 设置为 FALSE ，那么 pnorm() 函数返回的积分就是从 q 到正无穷区间的PDF下的曲线面积，因此我们就知道了， pnorm(q) 与 1-pnorm(q,lower.tail=FALSE) 的结果是一样的，如下所示：

在计算机出现之前的时代里，统计学家们使用正态分布进行统计时，通常是要查正态分布表的，但是，在计算机时代，通常都不使用正态分布表了，在R中， pnorm() 这个函数完全可以取代正态分布表了，现在我们使用一个Z-scores的向量来计算一下相应的累积概率，如下所示：

以上就是标准正态分布的 累积分布函数(CDF,Cumulative Distribution Function) 曲线。

简单来说， qnorm 是正态分布 累积分布函数(CDF,Cumulative Distribution Function） 的反函数，也就是说它可以视为 pnorm 的反函数，这里的 q 指的是quantile，即分位数。

使用 qnorm 这个函数可以回答这个问题：正态分布中的第p个分位数的Z-score是多少？

现在我们来计算一下，在正态分布分布中，第50百分位数的Z-score是多少，如下所示：

再来看一个案例：在正态分布中，第96个百分位的Z-score是多少，如下所示：

再来看一个案例：在正态分布中，第99个百分位的Z-score是多少，如下所示：

再来看一下 pnorm() 这个函数，如下所示：

从上面我们可以看到， pnorm 这个函数的功能是，我们知道某个Z-score是多少，它位于哪个分位数上。

接着我们进一步举例来说明一下 qnorm 和 pnorm 的具体功能，如下所示：

现在进行绘图，如下所示：

rnomr() 函数的功能用于生成一组符合正态分布的随机数，在学习各种统计学方法时， rnorm 这个函数应该是最常用的，它的参数有 n , mean ， sd ，其中n表示生成的随机数，mean与sd分别表示正态分布的均值与标准差，现在举个例子，如下所示：

现在我们绘制一下上面的几个向量的直方图，看一下它们的均值是否在70附近，如下所示：

在R语言中，生成不同分布的各种类型的函数都是以d,p,q,r开头的，使用原理跟上面的正态分布都一样。

sample() 函数是一个用于生成随机数的重要的核心函数，如果仅传递一个数值n给它，就会返回一个从1到n的自然数的排列，如果传递是 n:m 就是生成从n到m的随机数，如是是 7,5 ，则会生成5个小于7的随机数，如下所示：

从上面的结果可以看出来，这些数字都是不同的，也就是说，sample函数默认情况下是不重复抽样，每个值只出现一次，如果允许有重复抽样，需要添加参数 replace = TRUE ，如下所示：

sample函数通常会从某些向量中随机挑一些参数，如下所示：

也可以挑日期，如下所示：

上述分布函数前面加上r，p、q、d就可以表示相应的目的：

% Classify using classification and regression trees

% Inputs:

% features - Train features

% targets- Train targets

% params - [Impurity type, Percentage of incorrectly assigned samples at a node]

% Impurity can be: Entropy, Variance (or Gini), or Missclassification

% region- Decision region vector: [-x x -y y number_of_points]

%

% Outputs

% D - Decision sufrace

[Ni, M] = size(train_features)

%Get parameters

[split_type, inc_node] = process_params(params)

%For the decision region

N = region(5)

mx = ones(N,1) * linspace (region(1),region(2),N)

my = linspace (region(3),region(4),N)' * ones(1,N)

flatxy = [mx(:), my(:)]'

%Preprocessing

[f, t, UW, m] = PCA(train_features, train_targets, Ni, region)

train_features = UW * (train_features - m*ones(1,M))

flatxy = UW * (flatxy - m*ones(1,N^2))

%Build the tree recursively

disp('Building tree')

tree= make_tree(train_features, train_targets, M, split_type, inc_node, region)

%Make the decision region according to the tree

disp('Building decision surface using the tree')

targets = use_tree(flatxy, 1:N^2, tree)

D = reshape(targets,N,N)

%END

function targets = use_tree(features, indices, tree)

%Classify recursively using a tree

if isnumeric(tree.Raction)

%Reached an end node

targets = zeros(1,size(features,2))

targets(indices) = tree.Raction(1)

else

%Reached a branching, so:

%Find who goes where

in_right= indices(find(eval_r(tree.Raction)))

in_left = indices(find(eval_r(tree.Laction)))

Ltargets = use_tree(features, in_left, tree.left)

Rtargets = use_tree(features, in_right, tree.right)

targets = Ltargets + Rtargets

end

%END use_tree

function tree = make_tree(features, targets, Dlength, split_type, inc_node, region)

%Build a tree recursively

if (length(unique(targets)) == 1),

%There is only one type of targets, and this generates a warning, so deal with it separately

tree.right = []

tree.left = []

tree.Raction= targets(1)

tree.Laction= targets(1)

break

end

[Ni, M] = size(features)

Nt = unique(targets)

N = hist(targets, Nt)

if ((sum(N <Dlength*inc_node) == length(Nt) - 1) | (M == 1)),

%No further splitting is neccessary

tree.right = []

tree.left = []

if (length(Nt) ~= 1),

MLlabel = find(N == max(N))

else

MLlabel = 1

end

tree.Raction= Nt(MLlabel)

tree.Laction= Nt(MLlabel)

else

%Split the node according to the splitting criterion

deltaI = zeros(1,Ni)

split_point = zeros(1,Ni)

op = optimset('Display', 'off')

for i = 1:Ni,

split_point(i) = fminbnd('CARTfunctions', region(i*2-1), region(i*2), op, features, targets, i, split_type)

I(i) = feval_r('CARTfunctions', split_point(i), features, targets, i, split_type)

end

[m, dim] = min(I)

loc = split_point(dim)

%So, the split is to be on dimention 'dim' at location 'loc'

indices = 1:M

tree.Raction= ['features(' num2str(dim) ',indices) > ' num2str(loc)]

tree.Laction= ['features(' num2str(dim) ',indices) <= ' num2str(loc)]

in_right= find(eval_r(tree.Raction))

in_left = find(eval_r(tree.Laction))

if isempty(in_right) | isempty(in_left)

%No possible split found

tree.right = []

tree.left = []

if (length(Nt) ~= 1),

MLlabel = find(N == max(N))

else

MLlabel = 1

end

tree.Raction= Nt(MLlabel)

tree.Laction= Nt(MLlabel)

else

%...It's possible to build new nodes

tree.right = make_tree(features(:,in_right), targets(in_right), Dlength, split_type, inc_node, region)

tree.left = make_tree(features(:,in_left), targets(in_left), Dlength, split_type, inc_node, region)

end

end