交换算法
查找最小值算法
冒泡排序
选择排序
插入排序
shell排序 (希尔排序)
归并排序
快速排序
二分查找算法
查找重复算法
0） 穷举法穷举法简单粗暴，没有什么问题是搞不定的，只要你肯花时间。同时对于小数据量，穷举法就是最优秀的算法。就像太祖长拳，简单，人人都能会，能解决问题，但是与真正的高手过招，就颓了。
1） 贪婪算法
贪婪算法可以获取到问题的局部最优解，不一定能获取到全局最优解，同时获取最优解的好坏要看贪婪策略的选择。特点就是简单，能获取到局部最优解。就像打狗棍法，同一套棍法，洪七公和鲁有脚的水平就差太多了，因此同样是贪婪算法，不同的贪婪策略会导致得到差异非常大的结果。
2） 动态规划算法
当最优化问题具有重复子问题和最优子结构的时候，就是动态规划出场的时候了。动态规划算法的核心就是提供了一个memory来缓存重复子问题的结果，避免了递归的过程中的大量的重复计算。动态规划算法的难点在于怎么将问题转化为能够利用动态规划算法来解决。当重复子问题的数目比较小时，动态规划的效果也会很差。如果问题存在大量的重复子问题的话，那么动态规划对于效率的提高是非常恐怖的。就像斗转星移武功，对手强它也会比较强，对手若，他也会比较弱。
3）分治算法
分治算法的逻辑更简单了，就是一个词，分而治之。分治算法就是把一个大的问题分为若干个子问题，然后在子问题继续向下分，一直到base cases，通过base cases的解决，一步步向上，最终解决最初的大问题。分治算法是递归的典型应用。
4） 回溯算法
回溯算法是深度优先策略的典型应用，回溯算法就是沿着一条路向下走，如果此路不同了，则回溯到上一个
分岔路，在选一条路走，一直这样递归下去，直到遍历万所有的路径。八皇后问题是回溯算法的一个经典问题，还有一个经典的应用场景就是迷宫问题。
5） 分支限界算法
回溯算法是深度优先，那么分支限界法就是广度优先的一个经典的例子。回溯法一般来说是遍历整个解空间，获取问题的所有解，而分支限界法则是获取一个解（一般来说要获取最优解）。
算法大全（C，C++）一、 数论算法
1．求两数的最大公约数
function gcd(a,b:integer):integer
begin
if b=0 then gcd:=a
else gcd:=gcd (b,a mod b)
end
2．求两数的最小公倍数
function lcm(a,b:integer):integer
begin
if a<b then swap(a,b)
lcm:=a
while lcm mod b>0 do inc(lcm,a)
end
3．素数的求法
A.小范围内判断一个数是否为质数：
function prime (n: integer): Boolean
var I: integer
begin
for I:=2 to trunc(sqrt(n)) do
if n mod I=0 then begin
prime:=falseexit
end
prime:=true
end
B.判断longint范围内的数是否为素数（包含求50000以内的素数表）：
procedure getprime
var
i,j:longint
p:array[1..50000] of boolean
begin
fillchar(p,sizeof(p),true)
p[1]:=false
i:=2
while i<50000 do begin
if p[i] then begin
j:=i*2
while j<50000 do begin
p[j]:=false
inc(j,i)
end
end
inc(i)
end
l:=0
for i:=1 to 50000 do
if p[i] then begin
inc(l)pr[l]:=i
end
end{getprime}
function prime(x:longint):integer
var i:integer
begin
prime:=false
for i:=1 to l do
if pr[i]>=x then break
else if x mod pr[i]=0 then exit
prime:=true
end{prime}
二、图论算法
1．最小生成树
A.Prim算法：
procedure prim(v0:integer)
var
lowcost,closest:array[1..maxn] of integer
i,j,k,min:integer
begin
for i:=1 to n do begin
lowcost[i]:=cost[v0,i]
closest[i]:=v0
end
for i:=1 to n-1 do begin
{寻找离生成树最近的未加入顶点k}
min:=maxlongint
for j:=1 to n do
if (lowcost[j]<min) and (lowcost[j]<>0) then begin
min:=lowcost[j]
k:=j
end
lowcost[k]:=0{将顶点k加入生成树}
{生成树中增加一条新的边k到closest[k]}
{修正各点的lowcost和closest值}
for j:=1 to n do
if cost[k,j]<lwocost[j] then begin
lowcost[j]:=cost[k,j]
closest[j]:=k
end
end
end{prim}
B.Kruskal算法：(贪心)
按权值递增顺序删去图中的边，若不形成回路则将此边加入最小生成树。
function find(v:integer):integer{返回顶点v所在的集合}
var i:integer
begin
i:=1
while (i<=n) and (not v in vset[i]) do inc(i)
if i<=n then find:=i else find:=0
end
procedure kruskal
var
tot,i,j:integer
begin
for i:=1 to n do vset[i]:=[i]{初始化定义n个集合，第I个集合包含一个元素I}
p:=n-1q:=1tot:=0{p为尚待加入的边数，q为边集指针}
sort
{对所有边按权值递增排序，存于e[I]中，e[I].v1与e[I].v2为边I所连接的两个顶点的序号，e[I].len为第I条边的长度}
while p>0 do begin
i:=find(e[q].v1)j:=find(e[q].v2)
if i<>j then begin
inc(tot,e[q].len)
vset[i]:=vset[i]+vset[j]vset[j]:=[]
dec(p)
end
inc(q)
end
writeln(tot)
end
2.最短路径
A.标号法求解单源点最短路径：
var
a:array[1..maxn,1..maxn] of integer
b:array[1..maxn] of integer{b[i]指顶点i到源点的最短路径}
mark:array[1..maxn] of boolean
procedure bhf
var
best,best_j:integer
begin
fillchar(mark,sizeof(mark),false)
mark[1]:=trueb[1]:=0{1为源点}
repeat
best:=0
for i:=1 to n do
If mark[i] then {对每一个已计算出最短路径的点}
for j:=1 to n do
if (not mark[j]) and (a[i,j]>0) then
if (best=0) or (b[i]+a[i,j]<best) then begin
best:=b[i]+a[i,j]best_j:=j
end
if best>0 then begin
b[best_j]:=best；mark[best_j]:=true
end
until best=0
end{bhf}
B.Floyed算法求解所有顶点对之间的最短路径：
procedure floyed
begin
for I:=1 to n do
for j:=1 to n do
if a[I,j]>0 then p[I,j]:=I else p[I,j]:=0{p[I,j]表示I到j的最短路径上j的前驱结点}
for k:=1 to n do {枚举中间结点}
for i:=1 to n do
for j:=1 to n do
if a[i,k]+a[j,k]<a[i,j] then begin
a[i,j]:=a[i,k]+a[k,j]
p[I,j]:=p[k,j]
end
end
C. Dijkstra 算法：
var
a:array[1..maxn,1..maxn] of integer
b,pre:array[1..maxn] of integer{pre[i]指最短路径上I的前驱结点}
mark:array[1..maxn] of boolean
procedure dijkstra(v0:integer)
begin
fillchar(mark,sizeof(mark),false)
for i:=1 to n do begin
d[i]:=a[v0,i]
if d[i]<>0 then pre[i]:=v0 else pre[i]:=0
end
mark[v0]:=true
repeat {每循环一次加入一个离1集合最近的结点并调整其他结点的参数}
min:=maxintu:=0{u记录离1集合最近的结点}
for i:=1 to n do
if (not mark[i]) and (d[i]<min) then begin
u:=imin:=d[i]
end
if u<>0 then begin
mark[u]:=true
for i:=1 to n do
if (not mark[i]) and (a[u,i]+d[u]<d[i]) then begin
d[i]:=a[u,i]+d[u]
pre[i]:=u
end
end
until u=0
end
3.计算图的传递闭包
Procedure Longlink
Var
T:array[1..maxn,1..maxn] of boolean
Begin
Fillchar(t,sizeof(t),false)
For k:=1 to n do
For I:=1 to n do
For j:=1 to n do T[I,j]:=t[I,j] or (t[I,k] and t[k,j])
End
4．无向图的连通分量
A.深度优先
procedure dfs ( now,color: integer)
begin
for i:=1 to n do
if a[now,i] and c[i]=0 then begin {对结点I染色}
c[i]:=color
dfs(I,color)
end
end
B 宽度优先（种子染色法）
5．关键路径
几个定义： 顶点1为源点，n为汇点。
a. 顶点事件最早发生时间Ve[j], Ve [j] = max{ Ve [j] + w[I,j] },其中Ve (1) = 0
b. 顶点事件最晚发生时间 Vl[j], Vl [j] = min{ Vl[j] – w[I,j] },其中 Vl(n) = Ve(n)
c. 边活动最早开始时间 Ee[I], 若边I由<j,k>表示，则Ee[I] = Ve[j]
d. 边活动最晚开始时间 El[I], 若边I由<j,k>表示，则El[I] = Vl[k] – w[j,k]
若 Ee[j] = El[j] ，则活动j为关键活动，由关键活动组成的路径为关键路径。
求解方法：
a. 从源点起topsort,判断是否有回路并计算Ve
b. 从汇点起topsort,求Vl
c. 算Ee 和 El
6．拓扑排序
找入度为0的点，删去与其相连的所有边，不断重复这一过程。
例 寻找一数列，其中任意连续p项之和为正，任意q 项之和为负，若不存在则输出NO.
7.回路问题
Euler回路(DFS)
定义：经过图的每条边仅一次的回路。（充要条件：图连同且无奇点）
Hamilton回路
定义：经过图的每个顶点仅一次的回路。
一笔画
充要条件：图连通且奇点个数为0个或2个。
9．判断图中是否有负权回路 Bellman-ford 算法
x[I],y[I],t[I]分别表示第I条边的起点，终点和权。共n个结点和m条边。
procedure bellman-ford
begin
for I:=0 to n-1 do d[I]:=+infinitive
d[0]:=0
for I:=1 to n-1 do
for j:=1 to m do {枚举每一条边}
if d[x[j]]+t[j]<d[y[j]] then d[y[j]]:=d[x[j]]+t[j]
for I:=1 to m do
if d[x[j]]+t[j]<d[y[j]] then return false else return true
end
10．第n最短路径问题
*第二最短路径：每举最短路径上的每条边，每次删除一条，然后求新图的最短路径，取这些路径中最短的一条即为第二最短路径。
*同理，第n最短路径可在求解第n-1最短路径的基础上求解。
三、背包问题
*部分背包问题可有贪心法求解：计算Pi/Wi
数据结构：
w[i]:第i个背包的重量；
p[i]:第i个背包的价值；
1．0-1背包： 每个背包只能使用一次或有限次(可转化为一次)：
A.求最多可放入的重量。
NOIP2001 装箱问题
有一个箱子容量为v(正整数，o≤v≤20000)，同时有n个物品(o≤n≤30)，每个物品有一个体积 (正整数)。要求从 n 个物品中，任取若千个装入箱内，使箱子的剩余空间为最小。
l 搜索方法
procedure search(k,v:integer){搜索第k个物品，剩余空间为v}
var i,j:integer
begin
if v<best then best:=v
if v-(s[n]-s[k-1])>=best then exit{s[n]为前n个物品的重量和}
if k<=n then begin
if v>w[k] then search(k+1,v-w[k])
search(k+1,v)
end
end
l DP
F[I,j]为前i个物品中选择若干个放入使其体积正好为j的标志，为布尔型。
实现:将最优化问题转化为判定性问题
f [I, j] = f [ i-1, j-w[i] ] (w[I]<=j<=v) 边界：f[0,0]:=true.
For I:=1 to n do
For j:=w[I] to v do F[I,j]:=f[I-1,j-w[I]]
优化：当前状态只与前一阶段状态有关，可降至一维。
F[0]:=true
For I:=1 to n do begin
F1:=f
For j:=w[I] to v do
If f[j-w[I]] then f1[j]:=true
F:=f1
End
B.求可以放入的最大价值。
F[I,j] 为容量为I时取前j个背包所能获得的最大价值。
F [i,j] = max { f [ i – w [ j ], j-1] + p [ j ], f[ i,j-1] }
C.求恰好装满的情况数。
DP:
Procedure update
var j,k:integer
begin
c:=a
for j:=0 to n do
if a[j]>0 then
if j+now<=n then inc(c[j+now],a[j])
a:=c
end
2．可重复背包
A求最多可放入的重量。
F[I,j]为前i个物品中选择若干个放入使其体积正好为j的标志，为布尔型。
状态转移方程为
f[I,j] = f [ I-1, j – w[I]*k ] (k=1.. j div w[I])
B.求可以放入的最大价值。
USACO 1.2 Score Inflation
进行一次竞赛，总时间T固定，有若干种可选择的题目，每种题目可选入的数量不限，每种题目有一个ti（解答此题所需的时间）和一个si（解答此题所得的分数），现要选择若干题目，使解这些题的总时间在T以内的前提下，所得的总分最大，求最大的得分。
*易想到：
f[i,j] = max { f [i- k*w[j], j-1] + k*p[j] } (0<=k<= i div w[j])
其中f[i,j]表示容量为i时取前j种背包所能达到的最大值。
*实现：
Begin
FillChar(f,SizeOf(f),0)
For i:=1 To M Do
For j:=1 To N Do
If i-problem[j].time>=0 Then
Begin
t:=problem[j].point+f[i-problem[j].time]
If t>f[i] Then f[i]:=t
End
Writeln(f[M])
End.
C.求恰好装满的情况数。
Ahoi2001 Problem2
求自然数n本质不同的质数和的表达式的数目。
思路一，生成每个质数的系数的排列，在一一测试，这是通法。
procedure try(dep:integer)
var i,j:integer
begin
cal{此过程计算当前系数的计算结果，now为结果}
if now>n then exit{剪枝}
if dep=l+1 then begin {生成所有系数}
cal
if now=n then inc(tot)
exit
end
for i:=0 to n div pr[dep] do begin
xs[dep]:=i
try(dep+1)
xs[dep]:=0
end
end
思路二，递归搜索效率较高
procedure try(dep,rest:integer)
var i,j,x:integer
begin
if (rest<=0) or (dep=l+1) then begin
if rest=0 then inc(tot)
exit
end
for i:=0 to rest div pr[dep] do
try(dep+1,rest-pr[dep]*i)
end
{main: try(1,n)}
思路三：可使用动态规划求解
USACO1.2 money system
V个物品，背包容量为n，求放法总数。
转移方程：
Procedure update
var j,k:integer
begin
c:=a
for j:=0 to n do
if a[j]>0 then
for k:=1 to n div now do
if j+now*k<=n then inc(c[j+now*k],a[j])
a:=c
end
{main}
begin
read(now){读入第一个物品的重量}
i:=0{a[i]为背包容量为i时的放法总数}
while i<=n do begin
a[i]:=1inc(i,now)end{定义第一个物品重的整数倍的重量a值为1，作为初值}
for i:=2 to v do
begin
read(now)
update{动态更新}
end
writeln(a[n])
四、排序算法
A.快速排序：
procedure qsort(l,r:integer)
var i,j,mid:integer
begin
i:=lj:=rmid:=a[(l+r) div 2]{将当前序列在中间位置的数定义为中间数}
repeat
while a[i]<mid do inc(i){在左半部分寻找比中间数大的数}
while a[j]>mid do dec(j){在右半部分寻找比中间数小的数}
if i<=j then begin {若找到一组与排序目标不一致的数对则交换它们}
swap(a[i],a[j])
inc(i)dec(j){继续找}
end
until i>j
if l<j then qsort(l,j){若未到两个数的边界，则递归搜索左右区间}
if i<r then qsort(i,r)
end{sort}
B.插入排序：
思路：当前a[1]..a[i-1]已排好序了，现要插入a[i]使a[1]..a[i]有序。
procedure insert_sort
var i,j:integer
begin
for i:=2 to n do begin
a[0]:=a[i]
j:=i-1
while a[0]<a[j] do begin
a[j+1]:=a[j]
j:=j-1
end
a[j+1]:=a[0]
end
end{inset_sort}
C.选择排序：
procedure sort
var i,j,k:integer
begin
for i:=1 to n-1 do
for j:=i+1 to n do
if a[i]>a[j] then swap(a[i],a[j])
end
D. 冒泡排序
procedure bubble_sort
var i,j,k:integer
begin
for i:=1 to n-1 do
for j:=n downto i+1 do
if a[j]<a[j-1] then swap( a[j],a[j-1]){每次比较相邻元素的关系}
end
E.堆排序：
procedure sift(i,m:integer){调整以i为根的子树成为堆,m为结点总数}
var k:integer
begin
a[0]:=a[i]k:=2*i{在完全二叉树中结点i的左孩子为2*i,右孩子为2*i+1}
while k<=m do begin
if (k<m) and (a[k]<a[k+1]) then inc(k){找出a[k]与a[k+1]中较大值}
if a[0]<a[k] then begin a[i]:=a[k]i:=kk:=2*iend
else k:=m+1
end
a[i]:=a[0]{将根放在合适的位置}
end
procedure heapsort
var
j:integer
begin
for j:=n div 2 downto 1 do sift(j,n)
for j:=n downto 2 do begin
swap(a[1],a[j])
sift(1,j-1)
end
