必须任意两个元素都要有唯一的最大下界和最小上界。设R是集合A上的一个关系，如果R是自反的、反对称的和可传递的，则称R是集合A的偏序关系，简称偏序，记作“≤”。对于（a，b）∈R，就把它表示成a≤b。
若在集合A上给定一个偏序关系≤，则称集合A按偏序关系≤构成一个偏序集合，集合A和偏序R一起称为偏序集，记作（A，≤）。
扩展资料：
设R是集合A的偏序关系，则在偏序结构<A,R>的哈塞图中：
1、把一个关系的哈塞图上下反转，得到它的逆关系的哈塞图，但左右翻转还是原关系的哈塞图。
2、无水平的线段。
3、当R是全序时，哈塞图可画成一个上升的链状图。
4、同一个集合，当偏序关系不同时，有不同的哈塞图。
5、集合A的两个哈塞图相同，当且仅当通过变形可以把一个变成另一个，但是必须不改变图的连接并保持线段的上升方向。
我们先回到最初的定义：
假设 R 是集合 A 上的关系，如果R是自反的、反对称的和传递的，则称 R 是 A 上的一个偏序，记做 。设为偏序关系，如果 ，则记做 ，读作 x 小于等于 y。
这个非常抽象，我们举个例子：
假设我们有这样的集合R 是 A 上的 小于等于关系 也就是
所以
我们画出他的 关系图 ：
显然他是 自反的 （环）、 反对称的 （无双向边）、 传递的
不知道大家看到这里的大家有没有理解到 偏序关系 的本质：
偏序关系定义了一种方向，只能正着，反证就不行！
比如这里的 小于等于 就是只有一种方向，可以就不能
至此，我们引出下一个定义 可比 ：
存在这种 偏序关系 的就叫做 可比
由于这种顺序结构，我们可以用 哈斯图 来表示 偏序关系
假设
画出 哈斯图 ：
这种 自底向上 的图就是哈斯图
理解了 偏序关系 的基本定义以后，我们就很容易理解 偏序集
我们把集合 A 和 A 上的偏序关系一起称作 偏序集 ，记做
我们看到这张图片，最大元就是最小元就是
所以直观来说 最大元 就是“最大”的那个，在 哈斯图 中最上面的
相反 最小元 就是“最小”的那个，在 哈斯图 图中最小的
而在这张图中：
而这张图就不存在 最大元 只存在 最小元 因为 11 9 12 8 10 7 之间就不 可比
搞清楚了 最大元 和 最小元 ，我们继续，还是回到这张图上：
里面的 极大元 是 11 9 12 8 10 7， 极小元 只有 1。
极大元 的意思就是在 可比 的那一条链中 最大的 ， 极小元 的意思就是在 可比 的那一条链中 最小的
之前的概念只在一个集合中，而谈到上下界就必须涉及到两个集合了，现在我们给出定义：
设
假设，定义了一个 偏序关系 并有以下哈斯图：
则 B 的上界就是
由于 2, 3 之间不可比，所以 B 的下界只有
如果能够理解 上界 和 下界 的话， 上确界 与 下确界 就更好理解了，简单来说
还是上面那个例子，B 的上界是 , 其中“最小”的就是 6。所以 B 的上确界就是 6。
反之 B 的下确界就是 1。
二元关系 就结束了。。。
