特征向量确实有很明确的几何意义,矩阵(既然讨论特征向量的问题,当然是方阵,这里不讨论广义特征向量的概念,就是一般的特征向量)乘以一个向量的结果仍 是同维数的一个向量,因此,矩阵乘法对应了一个变换,把一个向量变成同维数的另一个向量,那么变换的效果是什么呢?这当然与方阵的构造有密切关系,比如可 以取适当的二维方阵,使得这个变换的效果就是将平面上的二维向量逆时针旋转30度,这时我们可以问一个问题,有没有向量在这个变换下不改变方向呢?可以想 一下,除了零向量,没有其他向量可以在平面上旋转30度而不改变方向的,所以这个变换对应的矩阵(或者说这个变换自身)没有特征向量(注意：特征向量不能 是零向量),所以一个变换的特征向量是这样一种向量,它经过这种特定的变换后保持方向不变,只是进行长度上的伸缩而已(再想想特征向量的原始定义Ax= cx,你就恍然大悟了,看到了吗?cx是方阵A对向量x进行变换后的结果,但显然cx和x的方向相同),而且x是特征向量的话,ax也是特征向量(a是标 量且不为零),所以所谓的特征向量不是一个向量而是一个向量族,另外,特征值只不过反映了特征向量在变换时的伸缩倍数而已,对一个变换而言,特征向量指明的方向才是很重要的,特征值不是那么重要,虽然我们求这两个量时 先求出特征值,但特征向量才是更本质的东西!
R语言数组和矩阵1 数组
数组可以看成一个由递增下标表示的数据项的集合，例如数值。
数组的生成
如果一个向量需要在R中以数组的方式被处理，则必须含有一个维数向量作为它的dim属性。
维度向量由dim()指定，例如，z是一个由1500个元素组成的向量。下面的赋值语句
>dim(z) <- c(3,5,100)使它具有dim属性，并且将被当作一个3X5X100的数组进行处理。 c(3,5,100) 就是他的维度向量。
还可以用到像matrix()和array()这样的函数来赋值。比如
>array(1:20, dim=c(4,5))
>matrix(1:24, 3,4)
数据向量中的值被赋给数组中的值时，将遵循与FORTRAN相同的原则"主列顺序"，即第一个下标变化的最快，最后的下标变化最慢。
数组的运算
数组可以在算数表达式中使用，结果也是一个数组，这个数组由数据向量逐个元素的运算后组成，通常参与运算的对象应当具有相同的dim属性。
2 数组的索引和数组的子块
数组中的单个元素可以通过下标来指定，下标由逗号分隔，写在括号内。
我们可以通过在下标的位置给出一个索引向量来指定一个数组的子块，不过如果在任何一个索引位置上给出空的索引向量，则相当于选取了这个下标的全部范围。
如a[2,,]，a[,3,]等
3 索引数组
除了索引向量，还可以使用索引数组来指定数组的某些元素。
例如：有4X5的数组a，若要得到a中的a[1,3], a[2,2] 和a[3,1]这三个元素，可以生成索引向量i，然后用a[i]得到它们。
>a <- array(1:20,dim=c(4,5)) # Generate a 4 by 5 array.
>i <- array(c(1:3,3:1),dim=c(3,2))
>i
[,1] [,2]
[1,] 1 3
[2,] 2 2
[3,] 3 1
>a[i]
[1] 9 6 3
>a[i] <- 0 # 将这三个元素用0替换。
4 向量，数组的混合运算
表达式从左到右被扫描；
参与运算的任意对象如果大小不足，都将被重复使用直到与其他参与运算的对象等长；
当较短的向量和数组在运算中相遇时，所有的数组必须具有相同的dim属性，否则返回一个错误；
如果有任意参与运算的向量比参与运算的矩阵或数组长，将会产生错误；
如果数组结构正常声称，并且没有错误或者强制转换被应用于向量上，那么得到的结果与参与运算的数组具有相同的dim属性。
5 矩阵的运算
构建分区矩阵：cbind()和rbind()，cbind()按照水平方向，或者说按列的方式将矩阵连接到一起。rbind()按照垂直的方向，或者说按行的方式将矩阵连接到一起。
外积：操作符是%o%:
>ab <- a %o% b 或者
>ab <- outer(a, b, "*")
其中的乘法操作可以由任意一个双变量的函数替代。
广义转置：函数t(A)，或aperm(A, c(2,1))；
获取行数/列数：nrow(A)和ncol(A)分别返回矩阵A的行数和列数。
矩阵乘法：操作符为%*%；
交叉乘积（cross product）：crossprod(X，Y)等同于t(X) %*% y，crossprod(X)等价于crossprod(X, X)；
diag(v)：如果v是向量，diag(v)返回一个由v的元素为对角元素的对角矩阵。
如果v为矩阵，diag(v)返回一个由v主对角元素组成的向量。
如果v只是一个数值，那么diag(v)是一个vXv的单位矩阵。
特征值和特征向量：eigen(Sm)。这个函数的结果是由名为values和vectors的两部分组成的列表。如果只是需要特征值：eigen(Sm)$values
最小二乘拟合即QR分解：lsfit(), qr()。
强制转换为向量：as.vector()，或者直接c().
