具体过程如下:
1 4 -1 2
2 -1 -3 1
1 -5 -4 2
3 -6 -7 3
第2行,第3行,第4行, 加上第1行×-2,-1,-3
1 4 -1 2
0 -9 -1 -3
0 -9 -3 0
0 -18 -4 -3
第1行,第3行,第4行, 加上第2行×4/9,-1,-2
1 0 -13/9 2/3
0 -9 -1 -3
0 0 -2 3
0 0 -2 3
第1行,第2行,第4行, 加上第3行×-13/18,-1/2,-1
1 0 0 -3/2
0 -9 0 -9/2
0 0 -2 3
0 0 0 0
第2行,第3行, 提取公因子-9,-2
1 0 0 -3/2
0 1 0 1/2
0 0 1 -3/2
0 0 0 0
则向量组秩为3,且α1, α2, α3是一个极大线性无关组
α4=-3α1/2+α2/2-3α3/2
1 7 2 5 2
3 0 -1 1 -1
2 14 0 6 4
0 3 1 2 1
第2行,第3行, 加上第1行×-3,-2
1 7 2 5 2
0 -21 -7 -14 -7
0 0 -4 -4 0
0 3 1 2 1
第1行,第4行, 加上第2行×1/3,1/7
1 0 -1/3 1/3 -1/3
0 -21 -7 -14 -7
0 0 -4 -4 0
0 0 0 0 0
第1行,第2行, 加上第3行×-1/12,-7/4
1 0 0 2/3 -1/3
0 -21 0 -7 -7
0 0 -4 -4 0
0 0 0 0 0
第2行,第3行, 提取公因子-21,-4
1 0 0 2/3 -1/3
0 1 0 1/3 1/3
0 0 1 1 0
0 0 0 0 0
则向量组秩为3,且α1, α2, α3是一个极大线性无关组
α4=2α1/3+α2/3+α3
α5=-α1/3+α2/3
1 1 2 2 2
2 0 -1 1 2
1 3 0 -2 4
2 1 1 2 3
第2行,第3行,第4行, 加上第1行×-2,-1,-2
1 1 2 2 2
0 -2 -5 -3 -2
0 2 -2 -4 2
0 -1 -3 -2 -1
第1行,第3行,第4行, 加上第2行×1/2,1,-1/2
1 0 -1/2 1/2 1
0 -2 -5 -3 -2
0 0 -7 -7 0
0 0 -1/2 -1/2 0
第1行,第2行,第4行, 加上第3行×-1/14,-5/7,-1/14
1 0 0 1 1
0 -2 0 2 -2
0 0 -7 -7 0
0 0 0 0 0
第2行,第3行, 提取公因子-2,-7
1 0 0 1 1
0 1 0 -1 1
0 0 1 1 0
0 0 0 0 0
则向量组秩为3,且α1, α2, α3是一个极大线性无关组
α4=α1-α2+α3
α5=α1+α2
假设集合A={a,b},集合B={0,1,2},则两个集合的笛卡尔积为{(a,0),(a,1),(a,2),(b,0),(b,1),(b,2)}。可以扩展到多个集合的情况。类似的例子有,如果A表示某学校学生的集合,B表示该学校所有课程的集合,则A与B的笛卡尔积表示所有可能的选课情况。 [编辑本段]笛卡尔积的运算性质 由于有序对<x,y>中x,y的位置是确定的,因此A×B的记法也是确定的,不能写成B×A
笛卡尔积也可以多个集合合成,A1×A2×…×An
笛卡尔积的运算性质 一般不能交换
笛卡尔积,把集合A,B合成集合A×B,规定
A×B={<x,y>½xÎAÙyÎB}
在任意集合A上都可以定义笛卡尔积因为对任意两个集合A和B,用A中元素为第一元素,B中元素为第二元素构成有序对,所有这样的有序对组成的集合就是集合A和B的笛卡尔积.当集合A = B 时,笛卡尔积就记作A A. [编辑本段]推导过程 给定一组域D1,D2,…,Dn,这些域中可以有相同的。D1,D2,…,Dn的笛卡尔积为:
D1×D2×…×Dn={(d1,d2,…,dn)|di∈Di,i=1,2,…,n}
所有域的所有取值的一个组合不能重复
例 给出三个域:
D1=SUPERVISOR ={ 张清玫,刘逸 }
D2=SPECIALITY={计算机专业,信息专业}
D3=POSTGRADUATE={李勇,刘晨,王敏}
则D1,D2,D3的笛卡尔积为D:
D=D1×D2×D3 =
{(张清玫,计算机专业,李勇),(张清玫,计算机专业,刘晨),
(张清玫,计算机专业,王敏),(张清玫,信息专业,李勇),
(张清玫,信息专业,刘晨),(张清玫,信息专业,王敏),
(刘逸,计算机专业,李勇),(刘逸,计算机专业,刘晨),
(刘逸,计算机专业,王敏),(刘逸,信息专业,李勇),
(刘逸,信息专业,刘晨),(刘逸,信息专业,王敏) }
这样就把D1,D2,D3这三个集合中的每个元素加以对应组合,形成庞大的集合群。
本个例子中的D中就会有2X2X3个元素,如果一个集合有1000个元素,有这样3个集合,他们的笛卡尔积所组成的新集合会达到十亿个元素。假若某个集合是无限集,那么新的集合就将是有无限个元素。 [编辑本段]序偶与笛卡尔积 在日常生活中,有许多事物是成对出现的,而且这种成对出现的事物,具有一定的顺序。例如,上,下;左,右;3〈4;张华高于李明;中国地处亚洲;平面上点的坐标等。一般地说,两个具有固定次序的客体组成一个序偶,它常常表达两个客体之间的关系。记作〈x,y〉。上述各例可分别表示为〈上,下〉;〈左,右〉;〈3,4〉;〈张华,李明〉;〈中国,亚洲〉;〈a,b〉等。
序偶可以看作是具有两个元素的集合。但它与一般集合不同的是序偶具有确定的次序。在集合中{a,b}={b,a},但对序偶〈a,b〉≠〈b,a〉。
设x,y为任意对象,称集合{{x},{x,y}}为二元有序组,或序偶(ordered pairs),简记为<x,y> 。称x为<x,y>的第一分量,称y为第二分量。
定义3-41 对任意序偶<a,b> , <c, d > ,<a,b> = <c, d > 当且仅当a=c且b = d 。
递归定义n元序组 <a1,… , an>
<a1,a2> ={{a1},{a1 , a2}}
<a1 , a2 , a3 > = { {a1 , a2},{a1 , a2 , a3}}
= < <a1 , a2 > , a3 >
<a1,…an> = <<a1,…an-1>, an>
两个n元序组相等
< a1,…an >= < b1,…bn >Û(a1=b1) ∧ …∧ (an=bn)
定义3-42 对任意集合 A1,A2 , …,An,
(1)A1×A2,称为集合A1,A2的笛卡尔积(Cartesian product),定义为
A1 ×A2={x | $u $v(x = <u,v>∧u ÎA1∧vÎA2)}={<u,v> | u ÎA1∧vÎA2}
(2)递归地定义 A1 × A2× … × An
A1 × A2×… × An= (A1× A2 × …× An-1)×An
例题1 若A={α,β},B={1,2,3},求A×B,A×A,B×B以及(A×B)Ç(B×A)。
解 A×B={〈α,1〉,〈α,2〉,〈α,3〉,〈β,1〉,〈β,2〉,<β,3〉}
B×A={〈1,α〉,〈1,β〉,〈2,α〉,〈2,β〉,〈3,α〉,〈3,β〉}
A×A={〈α,α〉,〈α,β〉,〈β,α〉,〈β,β〉}
B×B={〈1,1〉,〈1,2〉,〈1,3〉,〈2,1〉,〈2,2〉,〈2,3〉,〈3,1〉,〈3,2〉,〈3,3〉}
(A×B)Ç(B×A)=Æ
由例题1可以看到(A×B)Ç(B×A)=Æ
我们约定若A=Æ或B=Æ,则A×B=Æ。
由笛卡尔定义可知:
(A×B)×C={〈〈a,b〉,c〉|(〈a,b〉∈A×B)∧(c∈C)}
={〈a,b,c〉|(a∈A)∧(b∈B)∧(c∈C)}
A×(B×C)={〈a,〈b,c〉〉|(a∈A)∧(〈b,c〉∈B×C)}
由于〈a,〈b,c〉〉不是三元组,所以
(A×B)×C ≠A×(B×C)
定理3-41 设A, B, C为任意集合,表示 È,Ç或 – 运算,那么有如下结论:
笛卡尔积对于并、交差运算可左分配。即:
A×(BC)=(A×B)(A×C)
笛卡尔积对于并、交差运算可右分配。即:
(BC) ×A=(B×A)(C×A)
¤ 当表示 È时,结论(1)的证明思路:(讨论叙述法)
先证明A×(B È C)Í(A×B) È (A×C) 从<x,y>∈A×(BÈC)出发,推出<x,y>∈(A ×B) È (A×C)
再证明(A×B) È (A×C) Í A×(B È C)
从<x,y>∈(A×B) È (A×C)出发,推出<x,y>∈A×(BÈC)
当表示 È时,结论(2)的证明思路:(谓词演算法) 见P-103页。¤
定理3-42 设A, B, C为任意集合,若C ≠ F,那么有如下结论:
AÍBÛ(A×C ÍB×C) Û (C×AÍC×B) ¤
定理前半部分证明思路 :(谓词演算法)
先证明AÍB Þ (A×CÍB×C)
以AÍB 为条件,从<x,y>∈A×C出发,推出<x,y>∈B×C
得出(A×CÍB×C)结论。
再证明(A×C ÍB×C) Þ AÍB
以C≠F为条件,从x∈A出发,对于y∈C,利用Þ附加式,推出x∈B
得出(AÍB)结论。 见P-103页。 ¤
定理3-43 设A, B, C, D为任意四个非空集合,那么有如下结论:
A×B Í C×D的充分必要条件是AÍ C,BÍ D
¤证明思路:(谓词演算法)
先证明充分性: A×B Í C×D Þ AÍ C,BÍ D
对于任意的x∈A、y∈B,从<x,y>∈A×B出发,利用条件A×BÍ C×D, <x,y>∈C×D,推出x∈C, y∈D。
再证明必要性: AÍ C,BÍ D ÞA×BÍ C×D
对于任意的x∈A、y∈B,从<x,y>∈A×B出发,推出<x,y>∈C×D。
笛卡尔(Descartes)乘积又叫直积。设A、B是任意两个集合,在集合A中任意取一个元素x,在集合B中任意取一个元素y,组成一个有序对(x,y),把这样的有序对作为新的元素,他们的全体组成的集合称为集合A和集合B的直积,记为A×B,即A×B={(x,y)|x∈A且y∈B}。
将 f(x)=(1+x)^α 展成Taylor 级数:
f(x) = 1+αx+α(α-1)x^2/2+α(α-1)(α-2)x^3/6+;
当 x很小的时候,忽略 x² 及其以上的高次项,保留一次项得到:
f(x) ≈ 1 + α x (1)
用于作近似计算。
举例:f(x) = (1+x)^17 计算:f(003)=
利用近似公式(1),
f(003) = 1 + 17×003 = 151
精确值 f(003)=103^17≈165 误差:8%,
表明一阶近似(1)的精度不是很高,除非x值很小!为了提高近似的精度,可以保留
二次项: f(x) ≈ 1 + α x + α(α-1)x^2/2 (2)
还以上题为例,计算
f(003)=1+17×003+17×16×003^2/2
= 151+01224
= 16324 //: 误差只有1%了!
这些内容已成近似计算的基本方法。
因为a⊥(a-2b)
所以a×(a-2b)=-1
a²-2ab=﹣1
a×a-2×a×b×cosα=﹣1
(α为向量a和b的夹角)
1-4cosα=﹣1
cosα=½
α=60°
画一个
平行四边形
abcd,ab=2
bc=2
∠abc=60°
则所求的2a+b的绝对值=向量BA+向量BC
的绝对值=bd的长度=2√3