mtext(text, side = 3, line = 0, outer = FALSE, at = NA,
adj = NA, padj = NA, cex = NA, col = NA, font = NA, ...)
text是文本内容。side指定是哪个页边空白(1=下面,2=左边,3=上边,4=右边)。line指定文字出现的位置,文字和对应坐标轴平行。从坐标轴开始向外从0开始计数。具体设为多少合适需要自己尝试。at,以用户坐标指定字符串位置。adj 调整阅读方向。为使字符串平行坐标轴,adj=0,意味着左对齐或下对齐,而adj=1表示右对齐或上对齐。padj 调整每个字符串垂直阅读的方向(它通过adj控制)。对于平行轴的字符串, padj=0表示右或上对齐,padj=1表示左或下对齐。cex字体大小因子,默认为1,实际输出字体相对于默认字体的大小比例,得尝试才知道设为多少合适。font文字字体。 col是色彩。
原文链接:http://tecdat.cn/?p=20015
本文将说明单变量和多变量金融时间序列的不同模型,特别是条件均值和条件协方差矩阵、波动率的模型。
均值模型
本节探讨条件均值模型。
iid模型
我们从简单的iid模型开始。iid模型假定对数收益率xt为N维高斯时间序列:
均值和协方差矩阵的样本估计量分别是样本均值
和样本协方差矩阵
我们从生成数据开始,熟悉该过程并确保估计过程给出正确的结果(即完整性检查)。然后使用真实的市场数据并拟合不同的模型。
让我们生成合成iid数据并估算均值和协方差矩阵:
# 生成综合收益数据X <- rmvnorm(n = T, mean = mu, sigma = Sigma)# 样本估计(样本均值和样本协方差矩阵)mu_sm <- colMeans(X)Sigma_scm <- cov(X)# 误差norm(mu_sm - mu, "2")#>[1] 2.44norm(Sigma_scm - Sigma, "F")#>[1] 70.79
现在,让我们针对不同数量的观测值T再做一次:
# 首先生成所有数据X <- rmvnorm(n = T_max, mean = mu, sigma = Sigma)# 现在遍历样本的子集for (T_ in T_sweep) { # 样本估算 mu_sm <- colMeans(X_) Sigma_scm <- cov(X_) # 计算误差 error_mu_vs_T <- c(error_mu_vs_T, norm(mu_sm - mu, "2")) error_Sigma_vs_T <- c(error_Sigma_vs_T, norm(Sigma_scm - Sigma, "F"))# 绘图plot(T_sweep, error_mu_vs_T, main = "mu估计误差",
plot(T_sweep, error_Sigma_vs_T main = "Sigma估计中的误差", ylab = "误差"
单变量ARMA模型
对数收益率xt上的ARMA(p,q)模型是
其中wt是均值为零且方差为σ2的白噪声序列。模型的参数是系数ϕi,θi和噪声方差σ2。
请注意,ARIMA(p,d,q)模型是时间差分为d阶的ARMA(p,q)模型。因此,如果我们用xt代替对数价格,那么先前的对数收益模型实际上就是ARIMA(p,1,q)模型,因为一旦对数价格差分,我们就获得对数收益。
rugarch生成数据
我们将使用rugarch包 生成单变量ARMA数据,估计参数并进行预测。
首先,我们需要定义模型:
# 指定具有给定系数和参数的AR(1)模型#>#>*----------------------------------*#>* ARFIMA Model Spec *#>*----------------------------------*#>Conditional Mean Dynamics#>------------------------------------#>Mean Model : ARFIMA(1,0,0)#>Include Mean : TRUE #>#>Conditional Distribution#>------------------------------------#>Distribution : norm #>Includes Skew : FALSE #>Includes Shape : FALSE #>Includes Lambda : FALSE#> Level Fixed Include Estimate LB UB#>mu 0.01 1 1 0 NA NA#>ar1 -0.90 1 1 0 NA NA#>ma 0.00 0 0 0 NA NA#>arfima 0.00 0 0 0 NA NA#>archm 0.00 0 0 0 NA NA#>mxreg 0.00 0 0 0 NA NA#>sigma 0.20 1 1 0 NA NA#>alpha 0.00 0 0 0 NA NA#>beta 0.00 0 0 0 NA NA#>gamma 0.00 0 0 0 NA NA#>eta1 0.00 0 0 0 NA NA#>eta2 0.00 0 0 0 NA NA#>delta 0.00 0 0 0 NA NA#>lambda 0.00 0 0 0 NA NA#>vxreg 0.00 0 0 0 NA NA#>skew 0.00 0 0 0 NA NA#>shape 0.00 0 0 0 NA NA#>ghlambda 0.00 0 0 0 NA NA#>xi 0.00 0 0 0 NA NAfixed.pars#>$mu#>[1] 0.01#>#>$ar1#>[1] -0.9#>#>$sigma#>[1] 0.2true_params#> mu ar1 sigma #> 0.01 -0.90 0.20
然后,我们可以生成时间序列:
# 模拟一条路径apath(spec, n.sim = T)# 转换为xts并绘图plot(synth_log_returns, main = "ARMA模型的对数收益率"plot(synth_log_prices, main = "ARMA模型的对数价格"
ARMA模型
现在,我们可以估计参数(我们已经知道):
# 指定AR(1)模型arfimaspec(mean.model = list(armaOrder = c(1,0), include.mean = TRUE))# 估计模型#> mu ar1 sigma #> 0.0083 -0.8887 0.1987#> mu ar1 sigma #> 0.01 -0.90 0.20
我们还可以研究样本数量T对参数估计误差的影响:
# 循环for (T_ in T_sweep) { estim_coeffs_vs_T <- rbind(estim_coeffs_vs_T, coef(arma_fit)) error_coeffs_vs_T <- rbind(error_coeffs_vs_T, abs(coef(arma_fit) - true_params)/true_params)# 绘图matplot(T_sweep, estim_coeffs_vs_T, main = "估计的ARMA系数", xlab = "T", ylab = "值",
matplot(T_sweep, 100*error_coeffs_vs_T, main = "估计ARMA系数的相对误差", xlab = "T", ylab = "误差 (%)",
首先,真正的μ几乎为零,因此相对误差可能显得不稳定。在T = 800个样本之后,其他系数得到了很好的估计。
ARMA预测
为了进行健全性检查,我们现在将比较两个程序包 Forecast 和 rugarch的结果:
# 指定具有给定系数和参数的AR(1)模型spec(mean.model = list(armaOrder = c(1,0), include.mean = TRUE), fixed.pars = list(mu = 0.005, ar1 = -0.9, sigma = 0.1))# 生成长度为1000的序列arfima(arma_fixed_spec, n.sim = 1000)@path$seriesSim# 使用 rugarch包指定和拟合模型spec(mean.model = list(armaOrder = c(1,0), include.mean = TRUE))# 使用包“ forecast”拟合模型#>ARIMA(1,0,0) with non-zero mean #>#>Coefficients:#> ar1 mean#> -0.8982 0.0036#>s.e. 0.0139 0.0017#>#>sigma^2 estimated as 0.01004: log likelihood=881.6#>AIC=-1757.2 AICc=-1757.17 BIC=-1742.47# 比较模型系数#> ar1 intercept sigma #>-0.898181148 0.003574781 0.100222964#> mu ar1 sigma #> 0.003605805 -0.898750138 0.100199956
确实,这两个软件包给出了相同的结果。
ARMA模型选择
在先前的实验中,我们假设我们知道ARMA模型的阶数,即p = 1和q = 0。实际上,阶数是未知的,因此必须尝试不同的阶数组合。阶数越高,拟合越好,但这将不可避免地导致过度拟合。已经开发出许多方法来惩罚复杂性的增加以避免过度拟合,例如AIC,BIC,SIC,HQIC等。
# 尝试不同的组合# 查看排名#> AR MA Mean ARFIMA BIC converged#>1 1 0 1 0 -0.38249098 1#>2 1 1 1 0 -0.37883157 1#>3 2 0 1 0 -0.37736340 1#>4 1 2 1 0 -0.37503980 1#>5 2 1 1 0 -0.37459177 1#>6 3 0 1 0 -0.37164609 1#>7 1 3 1 0 -0.37143480 1#>8 2 2 1 0 -0.37107841 1#>9 3 1 1 0 -0.36795491 1#>10 2 3 1 0 -0.36732669 1#>11 3 2 1 0 -0.36379209 1#>12 3 3 1 0 -0.36058264 1#>13 0 3 1 0 -0.11875575 1#>14 0 2 1 0 0.02957266 1#>15 0 1 1 0 0.39326050 1#>16 0 0 1 0 1.17294875 1#选最好的armaOrder#>AR MA #> 1 0
在这种情况下,由于观察次数T = 1000足够大,因此阶数被正确地检测到。相反,如果尝试使用T = 200,则检测到的阶数为p = 1,q = 3。
ARMA预测
一旦估计了ARMA模型参数ϕi ^ i和θ^j,就可以使用该模型预测未来的值。例如,根据过去的信息对xt的预测是
并且预测误差将为xt-x ^ t = wt(假设参数已被估计),其方差为σ2。软件包 rugarch 使对样本外数据的预测变得简单:
# 估计模型(不包括样本外)coef(arma_fit)#> mu ar1 sigma #> 0.007212069 -0.898745183 0.200400119# 整个样本外的预测对数收益forecast_log_returns <- xts(arma_fore@forecast$seriesFor[1, ], dates_out_of_sample)# 恢复对数价格prev_log_price <- head(tail(synth_log_prices, out_of_sample+1), out_of_sample)# 对数收益图plot(cbind("fitted" = fitted(arma_fit),# 对数价格图plot(cbind("forecast" = forecast_log_prices, main = "对数价格预测", legend.loc = "topleft")
多元VARMA模型
对数收益率xt上的VARMA(p,q)模型是
其中wt是具有零均值和协方差矩阵Σw的白噪声序列。该模型的参数是矢量/矩阵系数ϕ0,Φi,Θj和噪声协方差矩阵Σw。
比较
让我们首先加载S&P500:
# 加载标普500数据head(SP500_index_prices)#> SP500#>2012-01-03 1277.06#>2012-01-04 1277.30#>2012-01-05 1281.06#>2012-01-06 1277.81#>2012-01-09 1280.70#>2012-01-10 1292.08# 准备训练和测试数据logreturns_trn <- logreturns[1:T_trn]logreturns_tst <- logreturns[-c(1:T_trn)]# 绘图{ plot(logreturns, addEventLines(xts("训练"
现在,我们使用训练数据(即,对于t = 1,…,Ttrnt = 1,…,Ttrn)来拟合不同的模型(请注意,通过指示排除了样本外数据 out.sample = T_tst)。特别是,我们将考虑iid模型,AR模型,ARMA模型以及一些ARCH和GARCH模型(稍后将对方差建模进行更详细的研究)。
# 拟合i.i.d.模型coef(iid_fit)#> mu sigma #>0.0005712982 0.0073516993mean(logreturns_trn)#>[1] 0.0005681388sd(logreturns_trn)#>[1] 0.007360208# 拟合AR(1)模型coef(ar_fit)#> mu ar1 sigma #> 0.0005678014 -0.0220185181 0.0073532716# 拟合ARMA(2,2)模型coef(arma_fit)#> mu ar1 ar2 ma1 ma2 sigma #> 0.0007223304 0.0268612636 0.9095552008 -0.0832923604 -0.9328475211 0.0072573570# 拟合ARMA(1,1)+ ARCH(1)模型coef(arch_fit)#> mu ar1 ma1 omega alpha1 #> 6.321441e-04 8.720929e-02 -9.391019e-02 4.898885e-05 9.986975e-02#拟合ARMA(0,0)+ARCH(10)模型coef(long_arch_fit)#> mu omega alpha1 alpha2 alpha3 alpha4 alpha5 #>7.490786e-04 2.452099e-05 6.888561e-02 7.207551e-02 1.419938e-01 1.909541e-02 3.082806e-02 #> alpha6 alpha7 alpha8 alpha9 alpha10 #>4.026539e-02 3.050040e-07 9.260183e-02 1.150128e-01 1.068426e-06# 拟合ARMA(1,1)+GARCH(1,1)模型coef(garch_fit)#> mu ar1 ma1 omega alpha1 beta1 #> 6.660346e-04 9.664597e-01 -1.000000e+00 7.066506e-06 1.257786e-01 7.470725e-01
我们使用不同的模型来预测对数收益率:
# 准备预测样本外周期的对数收益# i.i.d.模型预测forecast(iid_fit, n.ahead = 1, n.roll = T_tst - 1) dates_out_of_sample)# AR(1)模型进行预测forecast(ar_fit, n.ahead = 1, n.roll = T_tst - 1) dates_out_of_sample)# ARMA(2,2)模型进行预测forecast(arma_fit, n.ahead = 1, n.roll = T_tst - 1) dates_out_of_sample)# 使用ARMA(1,1)+ ARCH(1)模型进行预测forecast(arch_fit, n.ahead = 1, n.roll = T_tst - 1) dates_out_of_sample)# ARMA(0,0)+ARCH(10)模型预测forecast(long_arch_fit, n.ahead = 1, n.roll = T_tst - 1) dates_out_of_sample)# ARMA(1,1)+GARCH(1,1)模型预测forecast(garch_fit, n.ahead = 1, n.roll = T_tst - 1) dates_out_of_sample)
我们可以计算不同模型的预测误差(样本内和样本外):
print(error_var)#> in-sample out-of-sample#>iid 5.417266e-05 8.975710e-05#>AR(1) 5.414645e-05 9.006139e-05#>ARMA(2,2) 5.265204e-05 1.353213e-04#>ARMA(1,1) + ARCH(1) 5.415836e-05 8.983266e-05#>ARCH(10) 5.417266e-05 8.975710e-05#>ARMA(1,1) + GARCH(1,1) 5.339071e-05 9.244012e-05
我们可以观察到,随着模型复杂度的增加,样本内误差趋于变小(由于拟合数据的自由度更高),尽管差异可以忽略不计。重要的实际上是样本外误差:我们可以看到,增加模型复杂度可能会得出较差的结果。就预测收益的误差而言,似乎最简单的iid模型已经足够了。
最后,让我们展示一些样本外误差的图表:
plot(error, main = "不同模型收益预测的样本外误差",
请注意,由于我们没有重新拟合模型,因此随着时间的发展,误差越大(对于ARCH建模尤其明显)。
滚动窗口比较
让我们首先通过一个简单的示例比较静态预测与滚动预测的概念:
#ARMA(2,2)模型spec <- spec(mean.model = list(armaOrder = c(2,2), include.mean = TRUE))# 静态拟合和预测ar_static_fit <- fit(spec = spec, data = logreturns, out.sample = T_tst)#滚动拟合和预测modelroll <- aroll(spec = spec, data = logreturns, n.ahead = 1, # 预测图plot(cbind("static forecast" = ar_static_fore_logreturns, main = "使用ARMA(2,2)模型进行预测", legend.loc = "topleft")# 预测误差图plot(error_logreturns, col = c("black", "red"), lwd = 2, main = "ARMA(2,2)模型的预测误差", legend.loc = "topleft")
我们可以清楚地观察到滚动窗口过程对时间序列的影响。
现在,我们可以在滚动窗口的基础上重做所有模型的所有预测:
# 基于i.i.d.模型的滚动预测roll(iid_spec, data = logreturns, n.ahead = 1, forecast.length = T_t# AR(1)模型的滚动预测roll(ar_spec, data = logreturns, n.ahead = 1, forecast.length = T_tst, # ARMA(2,2)模型的滚动预测roll(arma_spec, data = logreturns, n.ahead = 1, forecast.length = T_tst, # ARMA(1,1)+ ARCH(1)模型的滚动预测roll(arch_spec, data = logreturns, n.ahead = 1, forecast.length = T_tst, refit.every = 50, refit.win# ARMA(0,0)+ ARCH(10)模型的滚动预测roll(long_arch_spec, data = logreturns, n.ahead = 1, forecast.length = T_tst, refit.every = 50, # ARMA(1,1)+ GARCH(1,1)模型的滚动预测roll(garch_spec, data = logreturns, n.ahead = 1, forecast.length = T_tst, refit.every = 50, refit.window
让我们看看滚动基准情况下的预测误差:
print(rolling_error_var)#> in-sample out-of-sample#>iid 5.417266e-05 8.974166e-05#>AR(1) 5.414645e-05 9.038057e-05#>ARMA(2,2) 5.265204e-05 8.924223e-05#>ARMA(1,1) + ARCH(1) 5.415836e-05 8.991902e-05#>ARCH(10) 5.417266e-05 8.976736e-05#>ARMA(1,1) + GARCH(1,1) 5.339071e-05 8.895682e-05
和一些图表:
plot(error_logreturns, main = "不同模型的滚动预测误差", legend.loc = "topleft"
我们看到,现在所有模型都拟合了时间序列。此外,我们在模型之间没有发现任何显着差异。
我们最终可以比较静态误差和滚动误差:
barplot(rbind(error_var[, "out-of-sample"], rolling_error_var[, "out-of-sample"]) col = c("darkblue", "darkgoldenrod"), legend = c("静态预测", "滚动预测"),
我们可以看到,滚动预测在某些情况下是必须的。因此,实际上,我们需要定期进行滚动预测改进。
方差模型
ARCH和GARCH模型
对数收益率残差wt的ARCH(m)模型为
其中zt是具有零均值和恒定方差的白噪声序列,而条件方差σ2t建模为
其中,m为模型阶数,ω>0,αi≥0为参数。
GARCH(m,s)模型使用σ2t上的递归项扩展了ARCH模型:
其中参数ω>0,αi≥0,βj≥0需要满足∑mi =1αi+ ∑sj = 1βj≤1的稳定性。
rugarch生成数据
首先,我们需要定义模型:
# 指定具有给定系数和参数的GARCH模型#>#>*---------------------------------*#>* GARCH Model Spec *#>*---------------------------------*#>#>Conditional Variance Dynamics #>------------------------------------#>GARCH Model : sGARCH(1,1)#>Variance Targeting : FALSE #>#>Conditional Mean Dynamics#>------------------------------------#>Mean Model : ARFIMA(1,0,0)#>Include Mean : TRUE #>GARCH-in-Mean : FALSE #>#>Conditional Distribution#>------------------------------------#>Distribution : norm #>Includes Skew : FALSE #>Includes Shape : FALSE #>Includes Lambda : FALSE#> Level Fixed Include Estimate LB UB#>mu 0.005 1 1 0 NA NA#>ar1 -0.900 1 1 0 NA NA#>ma 0.000 0 0 0 NA NA#>arfima 0.000 0 0 0 NA NA#>archm 0.000 0 0 0 NA NA#>mxreg 0.000 0 0 0 NA NA#>omega 0.001 1 1 0 NA NA#>alpha1 0.300 1 1 0 NA NA#>beta1 0.650 1 1 0 NA NA#>gamma 0.000 0 0 0 NA NA#>eta1 0.000 0 0 0 NA NA#>eta2 0.000 0 0 0 NA NA#>delta 0.000 0 0 0 NA NA#>lambda 0.000 0 0 0 NA NA#>vxreg 0.000 0 0 0 NA NA#>skew 0.000 0 0 0 NA NA#>shape 0.000 0 0 0 NA NA#>ghlambda 0.000 0 0 0 NA NA#>xi 0.000 0 0 0 NA NA#>$mu#>[1] 0.005#>#>$ar1#>[1] -0.9#>#>$omega#>[1] 0.001#>#>$alpha1#>[1] 0.3#>#>$beta1#>[1] 0.65true_params#> mu ar1 omega alpha1 beta1 #> 0.005 -0.900 0.001 0.300 0.650
然后,我们可以生成收益率时间序列:
# 模拟一条路径hpath(garch_spec, n.sim = T)#> num [1:2000, 1] 0.167 -0.217 # 绘图对数收益{ plot(synth_log_returns, main = "GARCH模型的对数收益", lwd = 1.5) lines(synth_volatility
GARCH
现在,我们可以估计参数:
# 指定一个GARCH模型ugarchspec(mean.model = list(armaOrder = c(1,0)# 估计模型coef(garch_fit)#> mu ar1 omega alpha1 beta1 #> 0.0036510100 -0.8902333595 0.0008811434 0.2810460728 0.6717486402#> mu ar1 omega alpha1 beta1 #> 0.005 -0.900 0.001 0.300 0.650# 系数误差#> mu ar1 omega alpha1 beta1 #>0.0013489900 0.0097666405 0.0001188566 0.0189539272 0.0217486402
我们还可以研究样本数量T对参数估计误差的影响:
# 循环for (T_ in T_sweep) { garch_fit error_coeffs_vs_T <- rbind(error_coeffs_vs_T, abs((coef(garch_fit) - true_params)/true_params)) estim_coeffs_vs_T <- rbind(estim_coeffs_vs_T, coef(garch_fit))# 绘图matplot(T_sweep, 100*error_coeffs_vs_T, main = "估计GARCH系数的相对误差", xlab = "T", ylab = "误差 (%)",
真实的ω几乎为零,因此误差非常不稳定。至于其他系数,就像在ARMA情况下一样,μ的估计确实很差(相对误差超过50%),而其他系数似乎在T = 800个样本后得到了很好的估计。
GARCH结果比较
作为健全性检查,我们现在将比较两个软件包 fGarch 和 rugarch的结果:
# 指定具有特定参数值的ARMA(0,0)-GARCH(1,1)作为数据生成过程garch_spec #生成长度为1000的数据path(garch_fixed_spec, n.sim = 1000)@path$# 使用“ rugarch”包指定和拟合模型rugarch_fit <- ugarchfit(spec = garch_spec, data = x)# 使用包“ fGarch”拟合模型garchFit(formula = ~ garch(1, 1), data = x, trace = FALSE)# 比较模型系数#> mu omega alpha1 beta1 #>0.09749904 0.01395109 0.13510445 0.73938595#> mu omega alpha1 beta1 #>0.09750394 0.01392648 0.13527024 0.73971658# 比较拟合的标准偏差print(head(fGarch_fi#>[1] 0.3513549 0.3254788 0.3037747 0.2869034 0.2735266 0.2708994print(head(rugar#>[1] 0.3538569 0.3275037 0.3053974 0.2881853 0.2745264 0.2716555
确实,这两个软件包给出了相同的结果。
使用rugarch包进行GARCH预测
一旦估计出GARCH模型的参数,就可以使用该模型预测未来的值。例如,基于过去的信息对条件方差的单步预测为
给定ω^ /(1-∑mi =1α^ i-∑sj =1β^ j)。软件包 rugarch 使对样本外数据的预测变得简单:
# 估计模型,不包括样本外garch_fit coef(garch_fit)#> mu ar1 omega alpha1 beta1 #> 0.0034964331 -0.8996287630 0.0006531088 0.3058756796 0.6815452241# 预测整个样本的对数收益garch_fore@forecast$sigmaFor[1, ]# 对数收益图plot(cbind("fitted" = fitted(garch_fit), main = "合成对数收益预测", legend.loc = "topleft")
#波动率对数收益图plot(cbind("fitted volatility" = sigma(garch_fit), main = "预测合成对数收益率的波动性", legend.loc = "topleft")
不同方法
让我们首先加载S&P500:
# 加载标准普尔500指数数据head(SP500_index_prices)#> SP500#>2008-01-02 1447.16#>2008-01-03 1447.16#>2008-01-04 1411.63#>2008-01-07 1416.18#>2008-01-08 1390.19#>2008-01-09 1409.13# 准备训练和测试数据x_trn <- x[1:T_trn]x_tst <- x[-c(1:T_trn)]# 绘图{ plot(x, main = "收益" addEventLines(xts("训练", in
常数
让我们从常数开始:
plot(cbind(sqrt(var_constant), x_trn) main = "常数")
移动平均值
现在,让我们使用平方收益的移动平均值:
plot(cbind(sqrt(var_t), x_trn), main = "基于简单滚动平方均值的包络线(时间段=20)
EWMA
指数加权移动平均线(EWMA):
请注意,这也可以建模为ETS(A,N,N)状态空间模型:
plot(cbind(std_t, x_trn), main = "基于平方EWMA的包络")
乘法ETS
我们还可以尝试ETS模型的不同变体。例如,具有状态空间模型的乘性噪声版本ETS(M,N,N):