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拉
格朗日乘子法基本的拉格朗日乘子法就是求
函数f(x1,x2,...)在约束条件g(x1,x2,...)=0下的
极值的方法。其主要思想是将约束条件函数与原函数联立，从而求出使原函数取得极值的各个变量的解。中文名拉格朗日乘子法外文名Lagrange multiplier别名拉格朗日乘数法主要思想引入一个新的参数λ求的内容极值定义对于具有l个等式约束的n维优化问题 , 把原目标函数 改造成为如下形式的新的目标函数式中的 就是原目标函数 的等式约束条件，而待定系数 称为拉格朗日乘子。这种方法称为拉格朗日乘子法。在极值点处，有和 ，共有n+l个方程，足以算出这n+l个变量，此法也称为升维法。[1]基本原理拉格朗日乘子法是一种经典的求解条件极值的解析方法，可将所有约束的优化模型问题转化为无约束极值问题的求解。一般带不等式约束的最优化问题求解如下式： 拉格朗日乘子法是用于变量无关的是常数 分别乘各约束函数 并与目标函数相加得到如下的拉格朗日函数： ，式中： 为自变量； 为拉格朗日乘子量； 为松弛变量。则 在 处取极值的必要条件为： ，依据上式求得 即为最优解。[2]计算过程1.假设需要求极值的目标函数(objective function)为f(x,y)，限制条件为φ(x,y)=M2.设 3.定义一个新函数 4.用偏导数方法列出方程：5.求出x,y,λ的值，代入即可得到目标函数的极值[1]关键参数含义（1） 是由参数M所引起的约束条件变化时，对目标函数最优值影响的度量；或者说表示了最优值的“灵敏度”。（2）当约束条件M增加一个单位时，目标函数值f将近单位。（3）在经济学上参数 表示产品或资源M增加一个单位时，所带来的最大社会效益f，常称为“边际效益”或“临界值”，在商业经营决策中很有用处。[3]直观意义引理一如果函数 是光滑的，并且 是 的一个正则点（即 ），那么， 垂直于过 的 的等值线。[4]引理二在等值面 上的每个正则点 ，向量 垂直于等值面，并且这个向量是唯一[4]的（不计其某一常数倍）。定理假设 在曲面S: 上的点 有最大（小）值，并且 不是 的临界点（g1）拉格朗日乘子法在处理完全约束的情况下，如果u在限定条件φ=0下最值存在，是一定可以找到的。
2）－4）
这里有一个关键点你弄错了，原限定曲面φ(x,y,z)= 0是没有边界的，之所以出现了边界，是因为你做了z=z(x,y)后,将原曲面投影到了xy平面所致。请注意φ(x,y,z)= 0是完全约束，这是三维空间中的一个或几个二维曲面，而你投影到x-y平面后得到的边界条件f(x,y)>=0是不完全约束，并不能表示二维平面中的一个或多个一维区域。既然并不存在该曲面的边界，你的问题(2)是没有意义的，问题4)概念错误。至于你的问题3），当你做了投影后，此时产生了一个不完全约束，因此出现了g(x,y)定义域的边界， 此时要求g(x,y)在xy平面中的定义域上的最值问题，需要考虑两部分，一是区域内部的驻点，一是区域边界上的点。你的表述只是从结果上来说是这样而已。
拉格朗日乘子法和直接反解求极值是两种不同的思想；比如有m个变量，n个约束方程(m>n)，实际上定义域是m-n维的,拉格朗日乘子法是引入n个拉格朗日乘子，而把变量空间扩展到m+n维，但是变量在这m+n维空间内取值不受限制。而直接用反解代入，是把定义域从原来m维空间中的一个m-n维曲面投影到一个m-n维平面，但是同时可能附加上最多n个不完全约束限制变量的取值范围（可能没有，比如你原来的问题里把z^2换成z)
