用拉格朗日乘数法求函数z=x^2-y^2在闭区间x^2+4y^2<=4上的最大值和最小值

Python014

用拉格朗日乘数法求函数z=x^2-y^2在闭区间x^2+4y^2<=4上的最大值和最小值,第1张

看到x^2+4y^2≤4首先想到的应该是三角换元啊，而不是用Lagrange乘值法

令x=2rcosθ，y=rsinθ，其中0≤r≤1，θ∈[0，2π）

z=4r^2(cosθ)^2-r^2(sinθ)^2=5r^2(cosθ)^2-r^2

所以当r=1，cosθ=±1时z取到最大值4，此时x=±2，y=0

当r=1，cosθ=0时z取到最小值-1，此时x=0，y=±1

条件极值问题

min f(x)

s.t. c(x)=0

f: R^n ->R, c: R^n ->R^m

拉格朗日函数L(x,y)=f(x)+y^T c(x)

拉格朗日乘数法就是一阶必要条件，即 grad L(x,y)=0 拉格朗日函数的梯度为0。.

所以由拉格朗日乘数法得到的点是条件极值问题的驻点，但不一定是解（极值点）。

另外，条件极值不一定是无条件极值。