PCA(主成分分析)python实现

Python011

PCA(主成分分析)python实现,第1张

回顾了下PCA的步骤，并用python实现。深刻的发现当年学的特征值、特征向量好强大。

PCA是一种无监督的学习方式，是一种很常用的降维方法。在数据信息损失最小的情况下，将数据的特征数量由n，通过映射到另一个空间的方式，变为k(k<n)。

这里用一个2维的数据来说明PCA，选择2维的数据是因为2维的比较容易画图。

这是数据：

画个图看看分布情况：

协方差的定义为：

假设n为数据的特征数，那么协方差矩阵M, 为一个n n的矩阵，其中Mij为第i和第j个特征的协方差，对角线是各个特征的方差。

在我们的数据中，n=2，所以协方差矩阵是2 2的，

通过numpy我们可以很方便的得到：

得到cov的结果为：

array([[ 0.61655556, 0.61544444],

[ 0.61544444, 0.71655556]])

由于我们之前已经做过normalization，因此对于我们来说，

这个矩阵就是 data*data的转置矩阵。

得到结果：

matrix([[ 5.549, 5.539],

[ 5.539, 6.449]])

我们发现，其实协方差矩阵和散度矩阵关系密切，散度矩阵 就是协方差矩阵乘以（总数据量-1）。因此他们的 特征根 和 特征向量 是一样的。这里值得注意的一点就是，散度矩阵是 SVD奇异值分解 的一步，因此PCA和SVD是有很大联系的，他们的关系这里就不详细谈了，以后有机会再写下。

用numpy计算特征根和特征向量很简单，

但是他们代表的意义非常有意思，让我们将特征向量加到我们原来的图里：

其中红线就是特征向量。有几点值得注意：

蓝色的三角形就是经过坐标变换后得到的新点，其实他就是红色原点投影到红线、蓝线形成的。

得到特征值和特征向量之后，我们可以根据 特征值 的大小，从大到小的选择K个特征值对应的特征向量。

这个用python的实现也很简单：

从eig_pairs选取前k个特征向量就行。这里，我们只有两个特征向量，选一个最大的。

主要将原来的数据乘以经过筛选的特征向量组成的特征矩阵之后，就可以得到新的数据了。

output：

数据果然变成了一维的数据。

最后我们通过画图来理解下数据经过PCA到底发生了什么。

绿色的五角星是PCA处理过后得到的一维数据，为了能跟以前的图对比，将他们的高度定位1.2，其实就是红色圆点投影到蓝色线之后形成的点。这就是PCA,通过选择特征根向量，形成新的坐标系，然后数据投影到这个新的坐标系，在尽可能少的丢失信息的基础上实现降维。

通过上述几步的处理，我们简单的实现了PCA第一个2维数据的处理，但是原理就是这样，我们可以很轻易的就依此实现多维的。

用sklearn的PCA与我们的pca做个比较：

得到结果：

用我们的pca试试

得到结果：

完全一致，完美~

值得一提的是，sklearn中PCA的实现，用了部分SVD的结果，果然他们因缘匪浅。

主成分分析（PCA）是一种基于变量协方差矩阵对数据进行压缩降维、去噪的有效方法。

PCA的思想是将n维特征映射到k维上（k<n），这k维特征称为主元，是旧特征的线性组合，这些线性组合最大化样本方差，尽量使新的k个特征互不相关。

1.根据先验经验和理论知识判断主成分数

2.根据要解释变量方差的积累值的阈值来判断需要的主成分数,如选择使累积方差达到80%的主成分个数

3.通过检查变量间 k*k 的相关系数矩阵来判断保留的主成分数(根据相关系数矩阵的特征值,选择特征值大于1的主成分) 1、最常见的是基于特征值的方法 每个主成分都与相关系数矩阵的特征值相关联