title: R语言中dnorm, pnorm, qnorm与rnorm以及随机数

date: 2018-09-07 12:02:00

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在R语言中，与正态分布（或者说其它分布）有关的函数有四个，分别为dnorm,pnorm,qnorm和rnorm，其中，dnorm表示密度函数，pnorm表示分布函数，qnorm表示分位数函数，rnorm表示生成随机数的函数。在R中与之类似的函数还有很多，具体的可以通过 help(Distributions) 命令去查看，对于分位数或百分位数的一些介绍可以看这篇笔记 《分位数及其应用》 ，关于正态分布的知识可以看这篇笔记 《正态分布笔记》 。

现在这篇笔记就介绍一下这些函数的区别。

R提供了多种随机数生成器(random number generators, RNG)，默认采用的是Mersenne twister方法产生的随机数，该方法是由Makoto Matsumoto和Takuji Nishimura于1997年提出来的，其循环周期是 。R里面还提供了了Wichmann-Hill、Marsaglia-Multicarry、Super-Duper、Knuth-TAOCP-2002、Knuth-TAOCP和L'Ecuyer-CMRG等几种随机数生成方法，可以通过 RNGkind() 函数进行更改，例如，如果要改为WIchmann-Hill方法，就使用如下语句：

在R中使用随机数函数，例如 rnorm() 函数来生成的随机数是不一样的，有时我们在做模拟时，为了比较不同的方法，就需要生成的随机数都一样，即重复生成相同的随机数，此时就可以使用 set.seed() 来设置随机数种子，其参数为整数，如下所示：

dnorm 中的 d 表示 density ， norm 表示正态贫，这个函数是正态分布的 概率密度(probability density)函数 。

正态分布的公式如下所示：

给定x，μ和σ后， dnorm() 这个函数返回的就是会返回上面的这个公式的值，这个值就是Z-score，如果是标准正态分布，那么上述的公式就变成了这个样子，如下所示：

现在看一个案例，如下所示：

dnorm(0,mean=0,sd=1) 由于是标准正态分布函数的概率密度，这个命令其实可以直接写为 dnorm(0) 即可，如下所示：

再看一个非标准正态分布的案例，如下所示：

虽然在 dnorm() 中，x是一个概率密度函数(PDF,Probability Density Function)的独立变量，但它也能看作是一组经过Z转换后的一组变量，现在我们看一下使用 dnorm 来绘制一个正态分布的概率密度函数曲线，如下所示：

现在使用 dnorm() 函数计算一下Z_scores的概率密度，如下所示：

现在绘图，如下所示：

从上面的结果可以看出，在每个Z-score处， dnorm 可以绘制出这个Z-score对应的正态分布的pdf的高度。

pnorm 函数中的 p 表示Probability，它的功能是，在正态分布的PDF曲线上，返回从负无穷到 q 的积分，其中这个 q 指的是一个Z-score。现在我们大概就可以猜测出 pnorm(0) 的值是0.5，因为在标准正态分布曲线上，当Z-score等于0时，这个点正好在标准正态分布曲线的正中间，那么从负无穷到0之间的曲线面积就是整个标准正态分布曲线下面积的一半，如下所示：

pnorm 函数还能使用 lower.tail 参数，如果 lower.tail 设置为 FALSE ，那么 pnorm() 函数返回的积分就是从 q 到正无穷区间的PDF下的曲线面积，因此我们就知道了， pnorm(q) 与 1-pnorm(q,lower.tail=FALSE) 的结果是一样的，如下所示：

在计算机出现之前的时代里，统计学家们使用正态分布进行统计时，通常是要查正态分布表的，但是，在计算机时代，通常都不使用正态分布表了，在R中， pnorm() 这个函数完全可以取代正态分布表了，现在我们使用一个Z-scores的向量来计算一下相应的累积概率，如下所示：

以上就是标准正态分布的 累积分布函数(CDF,Cumulative Distribution Function) 曲线。

简单来说， qnorm 是正态分布 累积分布函数(CDF,Cumulative Distribution Function） 的反函数，也就是说它可以视为 pnorm 的反函数，这里的 q 指的是quantile，即分位数。

使用 qnorm 这个函数可以回答这个问题：正态分布中的第p个分位数的Z-score是多少？

现在我们来计算一下，在正态分布分布中，第50百分位数的Z-score是多少，如下所示：

再来看一个案例：在正态分布中，第96个百分位的Z-score是多少，如下所示：

再来看一个案例：在正态分布中，第99个百分位的Z-score是多少，如下所示：

再来看一下 pnorm() 这个函数，如下所示：

从上面我们可以看到， pnorm 这个函数的功能是，我们知道某个Z-score是多少，它位于哪个分位数上。

接着我们进一步举例来说明一下 qnorm 和 pnorm 的具体功能，如下所示：

现在进行绘图，如下所示：

rnomr() 函数的功能用于生成一组符合正态分布的随机数，在学习各种统计学方法时， rnorm 这个函数应该是最常用的，它的参数有 n , mean ， sd ，其中n表示生成的随机数，mean与sd分别表示正态分布的均值与标准差，现在举个例子，如下所示：

现在我们绘制一下上面的几个向量的直方图，看一下它们的均值是否在70附近，如下所示：

在R语言中，生成不同分布的各种类型的函数都是以d,p,q,r开头的，使用原理跟上面的正态分布都一样。

sample() 函数是一个用于生成随机数的重要的核心函数，如果仅传递一个数值n给它，就会返回一个从1到n的自然数的排列，如果传递是 n:m 就是生成从n到m的随机数，如是是 7,5 ，则会生成5个小于7的随机数，如下所示：

从上面的结果可以看出来，这些数字都是不同的，也就是说，sample函数默认情况下是不重复抽样，每个值只出现一次，如果允许有重复抽样，需要添加参数 replace = TRUE ，如下所示：

sample函数通常会从某些向量中随机挑一些参数，如下所示：

也可以挑日期，如下所示：

上述分布函数前面加上r，p、q、d就可以表示相应的目的：

在R中，概率函数形如：

[dpqr]distribution_abbreviation

其中第一个字母表示其所指分布的某一方面：

d = 密度函数（density）

p = 分布函数（distribution function）

q = 分位数函数（quantile function）

r = 生成随机数（随机偏差）

以正态分布为例

1 什么是正态分布？

正态分布也被称为高斯分布，是统计学中极为常见的连续型概率分布。正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。

2 正态分布的两个参数及图形

正态分布有两个参数，即均数和标准差。 1）概率密度曲线在均值处达到最大，并且对称； 2）一旦均值和标准差确定，正态分布曲线也就确定； 3）当X的取值向横轴左右两个方向无限延伸时，曲线的两个尾端也无限渐近横轴，理论上永远不会与之相交； 4）正态随机变量在特定区间上的取值概率由正态曲线下的面积给出，而且其曲线下的总面积等于1；

5）均值可取实数轴上的任意数值，决定正态曲线的具体位置；标准差决定曲线的“陡峭”或“扁平”程度：标准差越大，正态曲线越扁平；标准差越小，正态曲线越陡峭。这是因为，标准差越小，意味着大多数变量值离均数的距离越短，因此大多数值都紧密地聚集在均数周围，图形所能覆盖的变量值就少些，于是都挤在一块，图形上呈现瘦高型。相反，标准差越大，数据跨度就比较大，分散程度大，所覆盖的变量值就越多，图形呈现“矮胖型”。

3 标准正态分布

如果不指定一个均值和一个标准差，则函数将假定其为标准正态分布（均值为0，标准差为1）。

4 正态分布的概率函数

概率密度函数为dnorm()，分布函数pnorm()，分位函数qnorm()，随机数生成函数rnorm()。

dnorm(x, mean = 0, sd = 1, log = FALSE)

pnorm(q, mean = 0, sd = 1, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)

qnorm(p, mean = 0, sd = 1, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)

rnorm(n, mean = 0, sd = 1)

x - 是数字的向量。

p - 是概率向量。

n - 是观察次数(样本量)。

mean - 是样本数据的平均值，默认值为零。

sd - 是标准偏差，默认值为1。

pretty()创建美观的分割点。选取n+1等间距的取整数，将连续变量x分割为n个区间。pretty(x,n)

x:它被定义为矢量数据。

n:结果向量的长度。

返回：等长区间的数据向量。

设定随机数种子

set.seed()

该函数是设定生成随机数的种子，种子是为了让结果具有重复性，保证你在执行和调试后，所创造的随机数保持不变。 24

runif(n, min = 0, max = 1)

该函数用于创建均匀分布的随机偏差。n表示观察次数，min和max分别为最小最大值。

其他概率分布见下表。

参考资料：

c：连接为向量或列表 sequence：等差序列 rep：重复

length：求长度 subset：求子集 seq，from:to， NA：缺失值 NULL：空对象 sort，order，unique，rev：排序 unlist：展平列表 attr，attributes：对象属性

mode，typeof：对象存储模式与类型 names：对象的名字属性

character：字符型向量 nchar：字符数 substr：取子串 format，formatC：把对象用格式转换为字符串 paste，strsplit：连接或拆分

charmatch，pmatch：字符串匹配 grep，sub，gsub：模式匹配与替换

complex，Re，Im，Mod，Arg，Conj：复数函数

factor：因子 codes：因子的编码 levels：因子的各水平的名字 nlevels：因子的水平个数 cut：把数值型对象分区间转换为因子

table：交叉频数表 split：按因子分组 aggregate：计算各数据子集的概括统计量 tapply：对“不规则”数组应用函数

+, -, *, /, ^, %%, %/%：四则运算 ceiling，floor，round，signif，trunc，zapsmall：舍入 max，min，pmax，pmin：最大最小值

range：最大值和最小值 sum，prod：向量元素和，积 cumsum，cumprod，cummax，cummin：累加、累乘 sort：排序 approx和approx fun：插值 diff：差分 sign：符号函数

abs，sqrt：绝对值，平方根 log, exp, log10, log2：对数与指数函数 sin，cos，tan，asin，acos，atan，atan2：三角函数

sinh，cosh，tanh，asinh，acosh，atanh：双曲函数

beta，lbeta，gamma，lgamma，digamma，trigamma，tetragamma，pentagamma，choose ，lchoose：与贝塔函数、伽玛函数、组合数有关的特殊函数

fft，mvfft，convolve：富利叶变换及卷积 polyroot：多项式求根 poly：正交多项式 spline，splinefun：样条差值

besselI，besselK，besselJ，besselY，gammaCody：Bessel函数 deriv：简单表达式的符号微分或算法微分

array：建立数组 matrix：生成矩阵 data.matrix：把数据框转换为数值型矩阵 lower.tri：矩阵的下三角部分 mat.or.vec：生成矩阵或向量 t：矩阵转置

cbind：把列合并为矩阵 rbind：把行合并为矩阵 diag：矩阵对角元素向量或生成对角矩阵 aperm：数组转置 nrow, ncol：计算数组的行数和列数 dim：对象的维向量

dimnames：对象的维名 row/colnames：行名或列名 %*%：矩阵乘法 crossprod：矩阵交叉乘积（内积） outer：数组外积 kronecker：数组的Kronecker积

apply：对数组的某些维应用函数 tapply：对“不规则”数组应用函数 sweep：计算数组的概括统计量 aggregate：计算数据子集的概括统计量 scale：矩阵标准化

matplot：对矩阵各列绘图 cor：相关阵或协差阵 Contrast：对照矩阵 row：矩阵的行下标集 col：求列下标集

solve：解线性方程组或求逆 eigen：矩阵的特征值分解 svd：矩阵的奇异值分解 backsolve：解上三角或下三角方程组 chol：Choleski分解

qr：矩阵的QR分解 chol2inv：由Choleski分解求逆

<，>，<=，>=，==，!=：比较运算符 !，&，&&，|，||，xor()：逻辑运算符 logical：生成逻辑向量 all，any：逻辑向量都为真或存在真

ifelse()：二者择一 match，%in%：查找 unique：找出互不相同的元素 which：找到真值下标集合 duplicated：找到重复元素

optimize，uniroot，polyroot：一维优化与求根

if，else，ifelse，switch：分支 for，while，repeat，break，next：循环 apply，lapply，sapply，tapply，sweep：替代循环的函数。

function：函数定义 source：调用文件 call：函数调用 .C，.Fortran：调用C或者Fortran子程序的动态链接库。 Recall：递归调用

browser，debug，trace，traceback：程序调试 options：指定系统参数 missing：判断虚参是否有对应实参 nargs：参数个数 stop：终止函数执行

on.exit：指定退出时执行 eval，expression：表达式计算 system.time：表达式计算计时 invisible：使变量不显示 menu：选择菜单（字符列表菜单）

其它与函数有关的还有：delay，delete.response，deparse，do.call，dput，environment ，，formals，format.info，interactive，

is.finite，is.function，is.language，is.recursive ，match.arg，match.call，match.fun，model.extract，name，parse，substitute，sys.parent ，warning，machine

cat，print：显示对象 sink：输出转向到指定文件 dump，save，dput，write：输出对象 scan，read.table，load，dget：读入

ls，objects：显示对象列表 rm, remove：删除对象 q，quit：退出系统 .First，.Last：初始运行函数与退出运行函数。

options：系统选项 ?，help，help.start，apropos：帮助功能 data：列出数据集分析

每一种分布有四个函数：d――density（密度函数），p――分布函数，q――分位数函数，r――随机数函数。

比如，正态分布的这四个函数为dnorm，pnorm，qnorm，rnorm。下面我们列出各分布后缀，前面加前缀d、p、q或r就构成函数名：

norm：正态，t：t分布，f：F分布，chisq：卡方（包括非中心） unif：均匀，exp：指数，weibull：威布尔，gamma：伽玛，beta：贝塔

lnorm：对数正态，logis：逻辑分布，cauchy：柯西， binom：二项分布，geom：几何分布，hyper：超几何，nbinom：负二项，pois：泊松 signrank：符号秩，

wilcox：秩和，tukey：学生化极差

sum, mean, var, sd, min, max, range, median, IQR（四分位间距）等为统计量，sort，order，rank与排序有关，其它还有ave，fivenum，mad，quantile，stem等。

R中已实现的有chisq.test，prop.test，t.test。

cor，cov.wt，var：协方差阵及相关阵计算 biplot，biplot.princomp：多元数据biplot图 cancor：典则相关 princomp：主成分分析 hclust：谱系聚类

kmeans：k-均值聚类 cmdscale：经典多维标度 其它有dist，mahalanobis，cov.rob。

ts：时间序列对象 diff：计算差分 time：时间序列的采样时间 window：时间窗

lm，glm，aov：线性模型、广义线性模型、方差