A2=A 可以x2-x=0看做A的一个零化多项式,再由无重根就可得到该矩阵可对角化。
幂等矩阵的运算方法:
1)设 A₁,A₂都是幂等矩阵,则(A₁+A₂) 为幂等矩阵的充分必要条件为:A₁·A₂ =A₂·A₁=0,且有:R(A₁+A₂) =R (A₁) ⊕R (A₂);N(A₁+A₂) =N(A₁)∩N(A₂);
2)设 A₁, A₂都是幂等矩阵,则(A₁-A₂) 为幂等矩阵的充分必要条件为:A₁·A₂=A₂·A₁=A₂,且有:R(A₁-A₂) =R(A₁)∩N (A₂);N (A₁- A₂) =N (A₁)⊕R (A₂);
3)设 A₁,A₂都是幂等矩阵,若A₁·A₂=A₂·A₁,则A₁·A₂为幂等矩阵,且有:R (A₁·A₂) =R(A₁) ∩R (A₂);N (A₁·A₂) =N (A₁) +N (A₂)。
扩展资料:
幂等矩阵的其他性质:
1.幂等矩阵的特征值只可能是0,1;
2.幂等矩阵可对角化;
3.幂等矩阵的迹等于幂等矩阵的秩,即tr(A)=rank(A);
4.可逆的幂等矩阵为E;
5.方阵零矩阵和单位矩阵都是幂等矩阵;
6.幂等矩阵A满足:A(E-A)=(E-A)A=0;
7.幂等矩阵A:Ax=x的充要条件是x∈R(A);
8.A的核N(A)等于(E-A)的列空间R(E-A),且N(E-A)=R(A)。
参考资料来源:百度百科-幂等矩阵
对于n阶实对称幂等矩阵A,有A^2=A因此特征值满足x^2=x
即x=0或1
也即可以设A的特征值是r个1,n-r个0
因此实对称矩阵A与对角阵D=diag(1,...,1,0,...,0)相似(其中D中对角线上有r个1,n-r个0)
则R(D)=r,tr(D)=r
由于相似矩阵有相同特征值,相同的秩、相同的迹
因此
R(A)=tr(A)=r