隐马尔可夫模型是关于时序的概率模型，描述由一个隐藏的马尔科夫链随机生成不可观测的状态随机序列，再由各个状态生成一个观测从而产生观测随机序列的过程。
隐马尔可夫模型的形式定义如下：
设 是所有可能 状态的集合 ， 是所有可能 观测的集合 ：
其中 为可能状态数， 为可能观测数。
是长度为 的 状态序列 ， 是对应的 观测序列 ：
是 状态转移概率矩阵 ：
其中：
是 观测概率矩阵 ：
其中：
是 初始状态概率向量 ：
其中：
隐马尔可夫模型由初始状态概率向量 、状态转移概率矩阵 和观测概率矩阵 决定。 因此隐马尔可夫模型 可表示为：
具体来说，长度为 的观测序列的生成过程如下：按照初始状态分布 产生状态 ，按状态 的观测概率分布 生成 ，按状态 的状态转移概率分布 产生状态 ，依次递推。
（1） 齐次马尔可夫性假设 ，即隐藏的马尔科夫链在任意时刻 的状态只依赖于其前一时刻的状态，与其他时刻状态及观测无关，也与时刻 无关。
（2） 观测独立性假设 ，即任意时刻的观测只依赖于该时刻的马尔科夫链状态，与其它观测状态无关。
（1） 概率计算问题 ：给定模型 和观测序列 ，计算在模型 下序列 出现的概率 。
（2） 学习问题 ：已知观测序列 ，估计模型 参数，使得在该模型下观测序列 最大。
（3） 预测问题 ：已知模型 和观测序列 ，求使得 最大的状态序列 。
接下来分别阐述这三个问题的解决方法。
状态 的概率是：
对固定的 观测序列 的概率是：
同时出现的联合概率为：
从而：
可以看到，上式是对所有可能的 序列求和，而长度为 的 序列的数量是 数量级的，而 的计算量是 级别的，因此计算量为 ，非常大， 这种算法在实际中不可行 。
首先定义 前向概率 ：给定隐马尔可夫模型 ，定义到时刻 部分观测序列为 且状态为 的概率为前向概率，记作：
观测序列概率的前向算法 如下：
（1）初值：
（2）递推，对 ：
（3）终止：
前向算法高效的关键是 局部计算前向概率，然后利用路径结构将前向概率递推到全局，得到 。前向概率算法计算量是 级别的。
首先定义 后向概率 ：给定隐马尔可夫模型 ，定义在时刻 状态为 的条件下，从 到 部分观测序列为 的概率为后向概率，记作：
观测序列概率的后向算法 如下：
（1）初值：
（2）递推，对 ：
（3）终止：
若有 个长度相同观测序列和对应状态序列 则可利用极大似然估计得到隐马尔可夫模型参数：
设样本中时刻 处于状态 时刻 转移到状态 的频数为 ，那么状态转移概率 的估计为：
设样本中状态为 观测为 的频数为 ，那么观测概率 的估计为：
初始状态 的估计 为 个样本中初始状态为 的频率。
假设给定训练数据只包含 个长度为 的观测序列 而没有对应状态序列，我们可以把状态数据看作不可观测的隐数据 ，则隐马尔可夫模型事实上是一个含有隐变量的概率模型：
其参数可由EM算法实现。
近似算法的思想是，在每个时刻 选择在该时刻最有可能出现的状态 ，从而得到一个状态序列 。
近似算法的优点是计算简单，缺点是不能保证预测的状态序列整体是最有可能的状态序列，因为预测的状态序列可能有实际不发生的部分，比如存在转移概率为0的相邻状态。尽管如此，近似算法还是有用的。
维特比算法实际上是用动态规划解隐马尔可夫模型预测问题，即用动态规划求概率最大路径（最优路径），此路径对应一个状态序列。
定义 在时刻 状态为 的所有单个路径 中概率最大值 为：
由定义得递推式：
定义 在时刻 状态为 的所有单个路径 中概率最大路径的第 个结点 为：
维特比算法 如下：
（1）初始化：
（2）递推，对 :
（3）终止：
（4）回溯，对 ：
最优路径为
隐马尔可夫模型(Hidden Markov Model)，简称HMM， 是一种基于 概率统计 的模型，是一种结构最简单的 动态贝叶斯网 ，是一种重要的 有向图模型 。它用来描述一个含有隐含未知参数的 马尔可夫过程(Markov Process) 。其难点是从 可观察参数 中确定该过程的 隐参数 ，然后利用这些参数来作进一步的分析。
马尔可夫过程 (Markov Process)，它因俄罗斯数学家安德烈·马尔可夫而得名，代表数学中具有马尔可夫性质的离散 随机过程 。它的原始模型马尔可夫链，由安德烈·马尔可夫于1907年提出。
X1, … , Xn，每个状态值取决于前面有限个状态。如果 Xn+1 对于过去状态的条件概率分布仅是 Xn 的一个函数，则
在马尔科夫链中，每一个圆圈代表相应时刻的状态，有向边代表了可能的状态转移，权值表示状态转移概率。
这里“隐”指的是马尔科夫链中任意时刻的状态变量是不可见的，也就是说状态序列S0,S1,...,St无法直接观测到。但是HMM中每时刻有一个可见的观测值Ot与之对应，而且Ot有且仅于当前时刻隐状态St有关，St外化表现为Ot的概率称为输出概率，因此隐马尔科夫模型的结构图如下所示。
因此,隐马尔科夫模型中马尔科夫链指的是隐状态S0,S1,...,St序列。
HMM模型可以用五元组(O,S,A,B,π)表示。其中
根据以上HMM模型五元组表示，我们可以归纳出HMM模型解决的三个经典的问题。
如何用简单易懂的例子解释隐马尔可夫模型？ https://www.zhihu.com/question/20962240
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参考资料来源：百度百科—HMM
