【例题精讲】
（一）列举法：适用于数比较小的问题
例1 （1）求28和70的最大公约数；（2）求12和18的最小公倍数 解（1）28的约数有：1、2、4、7、14、28； 70的约数有；1、2、5、7、10、14、35、70。
因此，28与70的公约数有：1、2、7、14，其中最大的公约数为14，所以，（28，70）=14 （2）12的倍数有：12、24、36、48、60、72,…… 18 的倍数有36、72，…….，36是最小的公倍数 所以，[12，18]=36
（二）因式分解法：适用于数比较大的问题
现在以三个数为例来说明因式分解法求最大公约数和最小公倍数的求法，设自然数a，b，c的标准分解式为
a=pa1
1 · pa2
2·
。。。。。。。。。。。。。。。，，·，
pak
k （p1<p2<…..<pk,αi≥0,i=1,2,„..,k）,
b= pβ1
1 · pβ2
2·
。。。。。。。。。。。。。。。。，
·pβk
k （p1<p2<…..<pk, βi≥0,i=1,2,„..,k）,
c=pγ1
1 · pγ2
2·
。。。。。。。。。。。。。。。。，，
·pγk
k （p1<p2<…..<pk, γi≥0,i=1,2,„..,k）,
则 （a，b，c）=pa1
1 ·pa2
2·„·pak
k , 其中αi=min{αi ，βi ，γi }（i=1，2，„,k）
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[a,b,c]= pb1
1 · pb2
2·。。。。。。。。。。。。。。。。，，
·pbk
k ,
其中bi=max{αi ，βi ，γi }（i=1，2，„,k）
说明：min{αi ，βi ，γi }表示在αi ，βi ，γi 这三个数中取最小的第一个，max{αi ，βi ，γi }表示在αi ，βi ，γi 这三个数中取最大的那一个，（其中i=1，2，„,n）
例2 求2520、14 850、819的最大公约数和最小公倍数。 解 先对这三个数分别分解质因数得； 2520=23
×32
×5×7=23
×32
×5×7×110
×130
14850=2×33
×52
×11=2×33
×52
×70
×13 819=32
×7×13=23
×32
×50
×70
×11×13
所以：（2520，14850，819）=20
×32
×70
×110
×130
=9
[2520，14850，819]=23
×32
×50
×70
×110
×130
=5405400 （三）短除法：适用于数大小居中的情况
例3 求36，108，126的最大公约数和最小公倍数。 解：用短除法
用公约数2除„„„„„„„„„„2 36 108 126
用公约数3除„„„„„„„„„„„3 18 54 63
用公约数3除„„„„„„„„„„„„3 6 18 21
所得3个商数互质„„„„„„„„„„„ 2 6 7
所以：（36，108，126）= 2×3×3 = 18
下面是求最小公倍数：
用公约数2除„„„„„„„„„„2 36 108 126
用公约数3除„„„„„„„„„„„3 18 54 63
用公约数3除„„„„„„„„„„„„3 6 18 21
用2与6两数公约数2除2和6 „„„ 2 2 6 7
所得3个商两两互质 1 3 7
所以[36，108，126]=2×3×3×2×1×3×7=756
注意用短除法求若干个数的最大公约数与最小公倍数的区别。 *求n个数的最大公约数：
（1） 必须每次都用．．．．n个数的公约数去除
（2） 一直除到n个数的商互质（但不一定两两互质） （3） n个数的最大公约数即位短处是中所有除数的乘积
*求n个数的最小公倍数： （1） 必须先用．．（如果有）n个数的公约数去除，除到n个数没有除去1以外的公约数后，再用．．n-1个数的公约数去除，除到n-1个
数没有除1以外的公约数后，再用n-2个数的公约数去除，如此继续下去，为保证这一条，每次所用的除数均可选质数。
（2） 只要有两个数（被除数）能被同一数整除，就要继续除，一定要除到n个数的商量两互质为止。 （3） n 个数的最小公倍数即为短除式中，所有除数和最后两两互质的商的乘积 （四）辗转相除法求最大公约数：理解比较难，使用很简单，尤其是数比较大
例4 从一张长2002毫米、宽847毫米的长方形纸片上剪裁下尽可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上
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在裁下一个边长尽可能大的正方形，按照上面的过程不断的重复，最后剪得的正方形的边长是多少毫米。
解 剪的过程如图17-1所示，其中第一、二次均剪下847×847平方毫米的正方形，第三、四次剪下边长308毫米的正方形，第五次剪下边长231毫米的正方形，第六、七、八次剪下边长77毫米的正方形。
1 2
3
4
5
6
7 8
图17-1
以上的解题过程，实际上给出了求最大公约数的另一个办法—辗转相除法，这个过程的算式表示如下： 2002=847×2+308，847=308×2+231，308=231×1+77， 231= 77×3
由以上算式可以看出：这种方法就是用最大数除以小数，再用上次运算中的除数除以余数如此反复除，直至余数为零，最后一个除数就是两数的最大公约数。这是因为：两个数的最大公约数，同时是俩个数的约数，也就是余数的约数，拿这道题来说，2002和847的公约数，也就是847与308的公约数，也就是308与231的公约数，也就是231于77的公约数，由于231是77的公倍数，由于231是77的倍数，所以他们的最大公约数就是77，所以2002 与847 的最大公约数为77。
辗转相除法的竖式格式如下：
2 2002 847 2 1694 616 1 308 231 3
231 231
77 0
例5 用辗转相除法求1170、2574、3003的最大公约数。
分析 用辗转相除法求出其中任意两个数的最大公约数，再求出这个公约数与另一个数的最大公约数。 解 因为
5 1170 2574 2 1170 2340 0 234
所以：（1170，2574）=234。
又因为 1 234 3003 12 195 2808 39 195 5 195 0 所以（234，3003）=39。因此（1170，2574，3003）=39。 （五）用最大公约数求最小公倍数
根据最大公约数与最小公倍数的乘积为这些数的乘积可知，要求两个数的最小公倍数，可先求出这两个数的最大公约数，再用最大公约数去除这两个数的乘积，就能得到他们的最小公倍数。 例如，因为（56，42）=14，所以[56，42]=56×42÷14=168。 （六）最大公约数与最小公倍数的其他应用。
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例6．现有4个自然数，他们的和是1111，如果要求这4个数的公约数尽可能大，那么，这4个数的公约数最大可能是多少？ 分析：由题中4个自然数，他们的和是1111，如果要求这4个数的公约数尽可能大，那么4个自然数的公约数也一定是1111的约数，这样，讨论4个数的最大公约数的问题可以转化为讨抡1111的约数问题。在此基础上来确定这4个数，使他们的和为1111且最大公约数为最大。
解：因为1111=101×11，其约数有1，11，101，1111。显然1111不符合要求，在考虑约数101，由于
1111=101×11=101×（1+2+3+5）=101+101×2+101×3+101×5。
如果取101，101×2，101×3，101×5这4个数，就满足题目目的要求——其和为1111且他们的最大公约数为101。（由于11=1+2+3+5=1+1+3+6=„,所以满足条件的4个数并不唯一）。 例7 下面两个算式中，得数较大的是哪一个？
（1）
（1/24+1/29）×30； （2）（1/31+1/37）×40
分析 如果算出得数，计算量很大，比较量很大。比较一下两个式子。括号内都是两个分子为1的分数相加，如果能使括号外部分相同，那么只需要括号内部分就可以了。
解：因为[30，40]=120，则(1/24＋1/29)×30=（1/24+1/29）÷4×4×30=（1/96+1/116）×120
（1/31+1/37）×40=（1/31+1/37）÷3×3×40=（1/93+1/111）×120
由于1/93大于1/96，1/111大于1/116，所以（2）式得数较大。 注意：最大公约数与最小公倍数的性质，在解题中会经常遇到。
例8 如图所示，街道ABC在B处拐弯，在街道的一侧要等距离地安装路灯，要求在A,B,C G处各庄一盏路灯，问：这条街道最少要安
装多少盏路灯？
A B
1625米
1170米
C
分析：由题中“等距离的安装路灯”可知，乡邻两盏路灯之间的距离必为1625（米）与1170（米）的公约数，又由“最少要安装多少盏路灯”可知，总的路灯数最少，则相 邻两盏路灯之间的距离要最大，于是问题转化为求1625于1170的最大公约数。 解：由于1625=25×65 ，1170=18×65，且（25，28）=1。 所以：（1625，1170）=65。从而，最少需要安装25+28+1=44(盏)。 答：最少需安装44盏路灯（相邻两盏灯之间的距离都是65米）
例 9已知两个自然数的差为2，他们的最小公倍数与最大公约数之差为142。求这两个自然数。
分析：设其中较小的一个自然数为x,另一个则为x+2,那么这两个自然数的最大公约数只有两种可能，一个为1，一个为2。若最大公约数为1，则他们的最小公倍数为142+1=143，又因为最大公约数乘以他们的最小公倍数恰为两个自然数的积，所以： 1×143=a×（a+2）=11×13
若最大公约数为2，则他们的最小公倍数为142+2=144，而：2×144=（a+2）×a=16×18。故本题有2个答案。 解 设其中一个自然数为x，另一个位x+2 （1）当（x, x+2）=1时，[x ,x+2]=142+=1=143, 而（x ,x+2）×[x ,x+2]= 1×143=11×13= x×（x+2） 所以x=11 ,x+2= 13
（2）当（x, x+2）=2时，[x ,x+2]=142+2=144, 而（x ,x+2）×[x ,x+2]= 2×144=16×18= x×（x+2） 所以x=16 ,x+2= 18
答：这两个自然数为11和13或16和18 。
例10．已知两个自然数的和是60，他们的最大公约数与最小公倍数之和是84，求这两个自然数个式多少？ 分析：不妨设这两个自然数为a ，b若（a ，b）=m .则a=mq1 b=mq2,且（q1 ， q2）=1 由题意可知a+b=60 ，即：a+b= mq1 + mq2 = m（q1 + q2）=60，
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a ×b=m×(mq1 q2) = m (a ，b) ×[a ，b] = m×[a ，b]
所以[a ，b]=（a ×b）/ m= mq1 q2又因为(a ，b)+ [a ，b]= m+ mq1 q2=84，故得知m为60和84的公约数。 而（60，84）=12，所以m只可取1、2、3、4、6、12六种可能值，但当m取1、2、3、4、6时均不能同时满足
m（q1 + q2）=60和m+ mq1 q2=84
所以m仅能取12 ，则q1 + q2=60÷12=5，
12+12q1 q2=12（1+ q1 q2）=84 1+ q1 q2=7 q1 q2=6
若q1 、q2 分别取2、3时，则相对应的a 、b值为24和36
解：设这两个自然数为a 、b令（a ，b）=m，有a=mq1 b=mq2（q1 ， q2为a ，b除以m所得的商）又因为[a ，b]= （a ×b）/ m = mq1 × mq2/ m = mq1 q2
而a+b= mq1 + mq2 = m（q1 + q2）=60
(a ，b)+ [a ，b]= m+ mq1 q2=m（1+ q1 q2）=84，
所以m为60，84的约数，又因（60，84）=12，所以m只可取1、2、3、4、6、12六种可能。
当m取1、2、3、4、6、12均不能使上述两式都成立，故m应取12
由m（q1 + q2）=60，m = 12得q1 + q2 = 5，又由m（1+ q1 q2）=84，m = 12，1+ q1 q2=7，得q1 q2 = 6 所以q1 、 q2应分别取2、3，得a = 12×2 = 24，b = 12×3 = 36，故a、b可分别取24和36 答：这两个自然数为24和36 。
在掌握了最大公约数、最小公倍数的有关概念后，把这两个概念连在一起的公式：[a ，b] ×（a ，b）= a ×b
就显得非常重要，他非常明确的表达了这两个概念之间的关系，表明最大公约数与最小公倍数之间可以互相转化，这往往是解决有关整数问题的重要工具，例10就是一个典型的例子
德国签证办理分为个人自行前往受理中心办理和找专业旅行社代办。
无论何种方式办理都需要提供对应的签证办理所需材料。另外需要申请者本人前往签证受理中心提供本人生物特征识别数据（即俗称：录入指纹+拍照）。
德国签证办理所需材料如下：
1、护照（原件）
2、签证申请表（原件）
3、照片（原件）
4、身份证
5、户口本
6、在职证明（原件）
7、酒店预订证明
8、机票预订证明
9、行程单（原件）
10、结婚证
11、营业执照（原件）
12、银行对账单（原件）
13、房产证 （学生/儿童不提供）
14、其他资料 （学龄前儿童/自由/无业职业提供）
15、存款证明（原件）
16、退休证 （退休人员提供）
17、学校准假证明 （在校学生提供）
温馨提醒:德国签证会有使馆电调情况，在办理签证过程中保持电话畅通，并不要紧张，如实直接回答问题，以免拒签。
德国目前在北京、上海、广州、成都、沈阳都设有签证申请中心，可预约离就近地区签证中心录指纹。
