两个整数a，b，若它们除以整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余
记作a ≡ b (mod m)
读作a同余于b模m，或读作a与b关于模m同余。
比如 26 ≡ 14 (mod 12)
【定义】设m是大于1的正整数,a,b是整数,如果m|(a-b),则称a与b关于模m同余,记作a≡b(mod m),读作a与b对模m同余.
显然,有如下事实
(1)若a≡0(mod m),则m|a
(2)a≡b(mod m)等价于a与b分别用m去除,余数相同.
【证明】 充分性:设a=mq1+r1,b=mq2+r2,0<=r1,r2<m
∵ m|(a-b),a-b=m(q1-q2)+(r1-r2).
则有m|(r1-r2).
∵0<=r1,r2<m,∴0<=|r1-r2|<m,
即r1-r2=0,∴r1=r2.
必要性:设a,b用m去除余数为r,即a=mq1+r,b=mq2+r,
a-b=m(q1-q2) ∴m|(a-b),
故a≡b(mod m).
编辑本段性质1 反身性 a ≡ a (mod m)
2 对称性 若a ≡ b(mod m) 则b ≡ a (mod m)
3 传递性 若a ≡ b (mod m)，b ≡ c (mod m),则a ≡ c (mod m)
4 同余式相加若a ≡ b (mod m)，c≡d(mod m)，则a+-c≡b+-d（mod m）
5 同余式相乘 若a ≡ b (mod m)，c≡d(mod m)，则ac≡bd（mod m）
【证明】上述性质很容易证明,下面仅证明(3).
∵a≡b(mod m)∴m|(a-b) 同理m|(b-c),
∴m|[(a-b)+(b-c)]∴m|(a-c).
故a≡c(mod m).
4 线性运算如果a ≡ b (mod m)，c ≡ d (mod m),那么(1)a ± c ≡ b ± d (mod m)，(2)a * c ≡ b * d (mod m)
【证明】(1)∵a≡b(mod m),∴m|(a-b) 同理 m|(c-d)
∴m|[(a-b)±(c-d)] ∴m|[(a±c)-(b±d)]
∴a ± c ≡ b ± d (mod m)
(2)∵ac-bd=ac-bc+bc-bd=c(a-b)+b(c-d)
又 m|(a-b) , m|(c-d) ∴m|(ac-bd)
∴a * c ≡ b * d (mod m)
5 除法若ac ≡ bc (mod m) c!=0 则 a≡ b (mod m/(c,m)) 其中(c,m)表示c,m的最大公约数
特殊地 (c,m)=1 则a ≡ b (mod m)
6 乘方如果a ≡ b (mod m)，那么a^n ≡ b^n (mod m)
7 若a ≡ b (mod m)，n|m,则 a ≡ b (mod n)
8 若a ≡ b (mod mi） i=1,2...n 则 a ≡ b (mod [m1,m2,...mn]) 其中[m1,m2,...mn]表示m1,m2,...mn的最小公倍数
9 欧拉定理
设a,m∈N,(a,m)=1,则a^(φ(m))≡1(mod m)
(注:φ(m)指模m的简系个数， φ(m)=m-1, 如果m是素数；φ(m=q1^r1 * q2^r2 * ...*qi^ri)=m (1-1/q1)(1-1/q2)...(1-1/qi))
用线性同余法生成随机数序列的公式为：rk = ( multiplier * rk-1 + increment ) % modulus。线性同余法主要是运用取模的运算来获取随机数，是一种在一些要求较低的场合能基本满足产生均匀分布随机数的方法。
数论中线性同余方程是最基本的同余方程，“线性”表示方程的未知数次数是一次。
随机数是实现由已知分布抽样的基本量，在由已知分布的抽样过程中，将随机数作为已知量，用适当的数学方法可以由它产生具有任意已知分布的简单子样。由具有已知分布的总体中抽取简单子样，在蒙特卡罗方法中占有非常重要的地位。总体和子样的关系，属于一般和个别的关系，或者说属于共性和个性的关系。由具有已知分布的总体中产生简单子样，就是由简单子样中若干个性近似地反映总体的共性。
由于随机数在蒙特卡罗方法中占有极其重要的位置，所以用专门的符号ξ表示。由随机数序列的定义可知，ξ1，ξ2，…是相互独立且具有相同单位均匀分布的随机数序列。也就是说独立性、均匀性是随机数必备的两个特点。
