-- title: R语言中dnorm, pnorm, qnorm与rnorm以及随机数 date: 2018-09-07 12:02:00 type: "tags" tags: 在R语言中,与正态分布(或者说其它分布)有关的函数有四个,分别为dnorm,pnorm,qnorm和rnorm,其中,dnorm表示密度函数,pnorm表示分布函数,qnorm表示分位数函数,rnorm表示生成随机数的函数。在R中与之类似的函数还有很多,具体的可以通过 help(Distributions) 命令去查看,对于分位数或百分位数的一些介绍可以看这篇笔记 《分位数及其应用》 ,关于正态分布的知识可以看这篇笔记 《正态分布笔记》 。 现在这篇笔记就介绍一下这些函数的区别。 R提供了多种随机数生成器(random number generators, RNG),默认采用的是Mersenne twister方法产生的随机数,该方法是由Makoto Matsumoto和Takuji Nishimura于1997年提出来的,其循环周期是 。R里面还提供了了Wichmann-Hill、Marsaglia-Multicarry、Super-Duper、Knuth-TAOCP-2002、Knuth-TAOCP和L'Ecuyer-CMRG等几种随机数生成方法,可以通过 RNGkind() 函数进行更改,例如,如果要改为WIchmann-Hill方法,就使用如下语句: 在R中使用随机数函数,例如 rnorm() 函数来生成的随机数是不一样的,有时我们在做模拟时,为了比较不同的方法,就需要生成的随机数都一样,即重复生成相同的随机数,此时就可以使用 set.seed() 来设置随机数种子,其参数为整数,如下所示:dnorm 中的 d 表示 density , norm 表示正态贫,这个函数是正态分布的 概率密度(probability density)函数 。 正态分布的公式如下所示:给定x,μ和σ后, dnorm() 这个函数返回的就是会返回上面的这个公式的值,这个值就是Z-score,如果是标准正态分布,那么上述的公式就变成了这个样子,如下所示:现在看一个案例,如下所示:dnorm(0,mean=0,sd=1) 由于是标准正态分布函数的概率密度,这个命令其实可以直接写为 dnorm(0) 即可,如下所示: 再看一个非标准正态分布的案例,如下所示: 虽然在 dnorm() 中,x是一个概率密度函数(PDF,Probability Density Function)的独立变量,但它也能看作是一组经过Z转换后的一组变量,现在我们看一下使用 dnorm 来绘制一个正态分布的概率密度函数曲线,如下所示: 现在使用 dnorm() 函数计算一下Z_scores的概率密度,如下所示: 现在绘图,如下所示: 从上面的结果可以看出,在每个Z-score处, dnorm 可以绘制出这个Z-score对应的正态分布的pdf的高度。pnorm 函数中的 p 表示Probability,它的功能是,在正态分布的PDF曲线上,返回从负无穷到 q 的积分,其中这个 q 指的是一个Z-score。现在我们大概就可以猜测出 pnorm(0) 的值是0.5,因为在标准正态分布曲线上,当Z-score等于0时,这个点正好在标准正态分布曲线的正中间,那么从负无穷到0之间的曲线面积就是整个标准正态分布曲线下面积的一半,如下所示:pnorm 函数还能使用 lower.tail 参数,如果 lower.tail 设置为 FALSE ,那么 pnorm() 函数返回的积分就是从 q 到正无穷区间的PDF下的曲线面积,因此我们就知道了, pnorm(q) 与 1-pnorm(q,lower.tail=FALSE) 的结果是一样的,如下所示: 在计算机出现之前的时代里,统计学家们使用正态分布进行统计时,通常是要查正态分布表的,但是,在计算机时代,通常都不使用正态分布表了,在R中, pnorm() 这个函数完全可以取代正态分布表了,现在我们使用一个Z-scores的向量来计算一下相应的累积概率,如下所示: 以上就是标准正态分布的 累积分布函数(CDF,Cumulative Distribution Function) 曲线。 简单来说, qnorm 是正态分布 累积分布函数(CDF,Cumulative Distribution Function) 的反函数,也就是说它可以视为 pnorm 的反函数,这里的 q 指的是quantile,即分位数。 使用 qnorm 这个函数可以回答这个问题:正态分布中的第p个分位数的Z-score是多少? 现在我们来计算一下,在正态分布分布中,第50百分位数的Z-score是多少,如下所示: 再来看一个案例:在正态分布中,第96个百分位的Z-score是多少,如下所示: 再来看一个案例:在正态分布中,第99个百分位的Z-score是多少,如下所示: 再来看一下 pnorm() 这个函数,如下所示: 从上面我们可以看到, pnorm 这个函数的功能是,我们知道某个Z-score是多少,它位于哪个分位数上。 接着我们进一步举例来说明一下 qnorm 和 pnorm 的具体功能,如下所示: 现在进行绘图,如下所示:rnomr() 函数的功能用于生成一组符合正态分布的随机数,在学习各种统计学方法时, rnorm 这个函数应该是最常用的,它的参数有 n , mean , sd ,其中n表示生成的随机数,mean与sd分别表示正态分布的均值与标准差,现在举个例子,如下所示: 现在我们绘制一下上面的几个向量的直方图,看一下它们的均值是否在70附近,如下所示: 在R语言中,生成不同分布的各种类型的函数都是以d,p,q,r开头的,使用原理跟上面的正态分布都一样。sample() 函数是一个用于生成随机数的重要的核心函数,如果仅传递一个数值n给它,就会返回一个从1到n的自然数的排列,如果传递是 n:m 就是生成从n到m的随机数,如是是 7,5 ,则会生成5个小于7的随机数,如下所示: 从上面的结果可以看出来,这些数字都是不同的,也就是说,sample函数默认情况下是不重复抽样,每个值只出现一次,如果允许有重复抽样,需要添加参数 replace = TRUE ,如下所示: sample函数通常会从某些向量中随机挑一些参数,如下所示: 也可以挑日期,如下所示: 上述分布函数前面加上r,p、q、d就可以表示相应的目的:R语言常用函数整理本篇是基础篇,即R语言自带的函数。 vector:向量 numeric:数值型向量 logical:逻辑型向量 character;字符型向量 list:列表 data.frame:数据框 c:连接为向量或列表 length:求长度 subset:求子集 seq,from:to,sequence:等差序列 rep:重复 NA:缺失值 NULL:空对象 sort,order,unique,rev:排序 unlist:展平列表 attr,attributes:对象属性 mode,class,typeof:对象存储模式与类型 names:对象的名字属性 字符型向量 nchar:字符数 substr:取子串 format,formatC:把对象用格式转换为字符串 paste()、paste0()不仅可以连接多个字符串,还可以将对象自动转换为字符串再相连,另外还能处理向量。 strsplit:连接或拆分 charmatch,pmatch:字符串匹配 grep,sub,gsub:模式匹配与替换 complex,Re,Im,Mod,Arg,Conj:复数函数 factor:因子 codes:因子的编码 levels:因子的各水平的名字 nlevels:因子的水平个数 cut:把数值型对象分区间转换为因子 table:交叉频数表 split:按因子分组 aggregate:计算各数据子集的概括统计量 tapply:对“不规则”数组应用函数 dev.new() 新建画板 plot()绘制点线图,条形图,散点图. barplot( ) 绘制条形图 dotchart( ) 绘制点图 pie( )绘制饼图. pair( )绘制散点图阵 boxplot( )绘制箱线图 hist( )绘制直方图 scatterplot3D( )绘制3D散点图. par()可以添加很多参数来修改图形 title( ) 添加标题 axis( ) 调整刻度 rug( ) 添加轴密度 grid( ) 添加网格线 abline( ) 添加直线 lines( ) 添加曲线 text( ) 添加标签 legend() 添加图例 +, -, *, /, ^, %%, %/%:四则运算 ceiling,floor,round,signif 1、round() #四舍五入 例:x <- c(3.1416, 15.377, 269.7) round(x, 0) #保留整数位 round(x, 2) #保留两位小数 round(x, -1) #保留到十位 2、signif() #取有效数字(跟学过的有效数字不是一个意思) 例:略 3、trunc() #取整 floor() #向下取整 ceiling() #向上取整 例:xx <- c(3.60, 12.47, -3.60, -12.47) trunc(xx) floor(xx) ceiling(xx) max,min,pmax,pmin:最大最小值 range:最大值和最小值 sum,prod:向量元素和,积 cumsum,cumprod,cummax,cummin:累加、累乘 sort:排序 approx和approx fun:插值 diff:差分 sign:符号函数 abs,sqrt:绝对值,平方根 log, exp, log10, log2:对数与指数函数 sin,cos,tan,asin,acos,atan,atan2:三角函数 sinh,cosh,tanh,asinh,acosh,atanh:双曲函数 beta,lbeta,gamma,lgamma,digamma,trigamma,tetragamma,pentagamma,choose ,lchoose:与贝塔函数、伽玛函数、组合数有关的特殊函数 fft,mvfft,convolve:富利叶变换及卷积 polyroot:多项式求根 poly:正交多项式 spline,splinefun:样条差值 besselI,besselK,besselJ,besselY,gammaCody:Bessel函数 deriv:简单表达式的符号微分或算法微分 array:建立数组 matrix:生成矩阵 data.matrix:把数据框转换为数值型矩阵 lower.tri:矩阵的下三角部分 mat.or.vec:生成矩阵或向量 t:矩阵转置 cbind:把列合并为矩阵 rbind:把行合并为矩阵 diag:矩阵对角元素向量或生成对角矩阵 aperm:数组转置 nrow, ncol:计算数组的行数和列数 dim:对象的维向量 dimnames:对象的维名 rownames,colnames:行名或列名 %*%:矩阵乘法 crossprod:矩阵交叉乘积(内积) outer:数组外积 kronecker:数组的Kronecker积 apply:对数组的某些维应用函数 tapply:对“不规则”数组应用函数 sweep:计算数组的概括统计量 aggregate:计算数据子集的概括统计量 scale:矩阵标准化 matplot:对矩阵各列绘图 cor:相关阵或协差阵 Contrast:对照矩阵 row:矩阵的行下标集 col:求列下标集 solve:解线性方程组或求逆 eigen:矩阵的特征值分解 svd:矩阵的奇异值分解 backsolve:解上三角或下三角方程组 chol:Choleski分解 qr:矩阵的QR分解 chol2inv:由Choleski分解求逆 ><,>,<=,>=,==,!=:比较运算符 !,&,&&,|,||,xor(): 逻辑运算符 logical: 生成逻辑向量 all, any:逻辑向量都为真或存在真 ifelse():二者择一 match, %in%:查找 unique:找出互不相同的元素 which:找到真值下标集合 duplicated:找到重复元素 optimize,uniroot,polyroot:一维优化与求根 if,else, ifelse, switch: 分支 for,while,repeat,break,next: 循环 apply,lapply,sapply,tapply,sweep:替代循环的函数。 function:函数定义 source:调用文件 ’ call:函数调用 . C,.Fortran:调用C或者Fortran子程序的动态链接库。 Recall:递归调用 browser,debug,trace,traceback:程序调试 options:指定系统参数 missing:判断虚参是否有对应实参 nargs:参数个数 stop:终止函数执行 on.exit:指定退出时执行 eval,expression:表达式计算 system.time:表达式计算计时 invisible:使变量不显示 menu:选择菜单(字符列表菜单) 其它与函数有关的还有: delay, delete.response, deparse, do.call, dput, environment , formals, format.info, interactive, is.finite, is.function, is.language, is.recursive , match.arg, match.call, match.fun, model.extract, name, parse 函数能将字符串转换为表达式expression deparse 将表达式expression转换为字符串 eval 函数能对表达式求解 substitute, sys.parent , warning, machine cat,print:显示对象 sink:输出转向到指定文件 dump,save,dput,write:输出对象 scan,read.table,readlines, load,dget:读入 ls,objects:显示对象列表 rm, remove:删除对象 q,quit:退出系统 .First,.Last:初始运行函数与退出运行函数。 options:系统选项 ?,help,help.start,apropos:帮助功能 data:列出数据集 head()查看数据的头几行 tail()查看数据的最后几行 每一种分布有四个函数: d―density(密度函数),p―分布函数,q―分位数函数,r―随机数函数。 比如,正态分布的这四个函数为dnorm,pnorm,qnorm,rnorm。下面我们列出各分布后缀,前面加前缀d、p、q或r就构成函数名: norm:正态, t:t分布, f:F分布, chisq:卡方(包括非中心) unif:均匀, exp:指数, weibull:威布尔, gamma:伽玛, beta:贝塔 lnorm:对数正态, logis:逻辑分布, cauchy:柯西, binom:二项分布, geom:几何分布, hyper:超几何, nbinom:负二项, pois:泊松 signrank:符号秩, wilcox:秩和, tukey:学生化极差 sum, mean, var, sd, min, max, range, median, IQR(四分位间距)等为统计量, sort,order,rank与排序有关, 其它还有ave,fivenum,mad,quantile,stem等。 R中已实现的有chisq.test,prop.test,t.test。 cor,cov.wt,var:协方差阵及相关阵计算 biplot,biplot.princomp:多元数据biplot图 cancor:典则相关 princomp:主成分分析 hclust:谱系聚类 kmeans:k-均值聚类 cmdscale:经典多维标度 其它有dist,mahalanobis,cov.rob。 ts:时间序列对象 diff:计算差分 time:时间序列的采样时间 window:时间窗 lm,glm,aov:线性模型、广义线性模型、方差分析 quo()等价于quote() enquo()等价于substitute()
R语言中dnorm, pnorm, qnorm与rnorm以及随机数
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