取y=-x，可得f(x)=-f(-x)，即函数f(x)是奇函数，
在f(x)的定义域R内任取x1，x2，使x1<x2，即x1-x2<0
则f(x1-x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1)-f(x2)<0，
故f(x)在定义域R内是单调递增函数，
（1）因为f(1)=2，所以f(3)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1)=6，f(-3)=-f(3)=-6，
因为f(x)在定义域R内是单调递增函数，故
当-3≤x≤3，求f(x)的最大值为6，最小值-6
（2）在方程f(x+y)=f(x)+f(y)中取y=x，得f(2x)=2f(x)，
下面用数学归纳法证明对一切n∈Z，x∈R，均有f(nx)=nf(x)，
归纳基础已经证得，假设当n=k时有f(kx)=kf(x)，
则当n=k+1时，f((k+1)x)=f(kx)+f(x)=kf(x)+f(x)=(k+1)f(x)，
因此对一切n∈Z，x∈R，均有f(nx)=nf(x)，
则当x=1时，有f(n)=nf(1)，
设r=p/q，其中p,q∈Z，
则qf(r)=f(p)=pf(1)，即f(p/q)=pf(1)/q，
故对一切r∈Q均有f(r)=rf(1)，
下面结合可加性与单调递增性证明对于一切x∈R均有f(x)=xf(1)，
任取实数x，根据有理数在实数中的稠密性，可以选取一列有理数｛pn｝递增地
趋向于x和一列有理数｛qn｝递减地趋向于x。根据f(x)的单调性可得
pnf(1)=f(pn)≤f(x)≤f(qn)=qnf(1)，n=1,2,3,……
在上式两边令n趋向于无穷，可得xf(1)≤f(x)≤xf(1)，
故对一切x∈R均有f(x)=xf(1)，
注意到f(1)=2，故满足条件的所有函数是f(x)=2x。
这道题第一小问容易，第二小问恐怕是奥赛的吧
