-- title: R语言中dnorm, pnorm, qnorm与rnorm以及随机数 date: 2018-09-07 12:02:00 type: "tags" tags: 在R语言中，与正态分布（或者说其它分布）有关的函数有四个，分别为dnorm,pnorm,qnorm和rnorm，其中，dnorm表示密度函数，pnorm表示分布函数，qnorm表示分位数函数，rnorm表示生成随机数的函数。在R中与之类似的函数还有很多，具体的可以通过 help(Distributions) 命令去查看，对于分位数或百分位数的一些介绍可以看这篇笔记 《分位数及其应用》 ，关于正态分布的知识可以看这篇笔记 《正态分布笔记》 。 现在这篇笔记就介绍一下这些函数的区别。 R提供了多种随机数生成器(random number generators, RNG)，默认采用的是Mersenne twister方法产生的随机数，该方法是由Makoto Matsumoto和Takuji Nishimura于1997年提出来的，其循环周期是 。R里面还提供了了Wichmann-Hill、Marsaglia-Multicarry、Super-Duper、Knuth-TAOCP-2002、Knuth-TAOCP和L'Ecuyer-CMRG等几种随机数生成方法，可以通过 RNGkind() 函数进行更改，例如，如果要改为WIchmann-Hill方法，就使用如下语句： 在R中使用随机数函数，例如 rnorm() 函数来生成的随机数是不一样的，有时我们在做模拟时，为了比较不同的方法，就需要生成的随机数都一样，即重复生成相同的随机数，此时就可以使用 set.seed() 来设置随机数种子，其参数为整数，如下所示：dnorm 中的 d 表示 density ， norm 表示正态贫，这个函数是正态分布的 概率密度(probability density)函数 。 正态分布的公式如下所示：给定x，μ和σ后， dnorm() 这个函数返回的就是会返回上面的这个公式的值，这个值就是Z-score，如果是标准正态分布，那么上述的公式就变成了这个样子，如下所示：现在看一个案例，如下所示：dnorm(0,mean=0,sd=1) 由于是标准正态分布函数的概率密度，这个命令其实可以直接写为 dnorm(0) 即可，如下所示： 再看一个非标准正态分布的案例，如下所示： 虽然在 dnorm() 中，x是一个概率密度函数(PDF,Probability Density Function)的独立变量，但它也能看作是一组经过Z转换后的一组变量，现在我们看一下使用 dnorm 来绘制一个正态分布的概率密度函数曲线，如下所示： 现在使用 dnorm() 函数计算一下Z_scores的概率密度，如下所示： 现在绘图，如下所示： 从上面的结果可以看出，在每个Z-score处， dnorm 可以绘制出这个Z-score对应的正态分布的pdf的高度。pnorm 函数中的 p 表示Probability，它的功能是，在正态分布的PDF曲线上，返回从负无穷到 q 的积分，其中这个 q 指的是一个Z-score。现在我们大概就可以猜测出 pnorm(0) 的值是0.5，因为在标准正态分布曲线上，当Z-score等于0时，这个点正好在标准正态分布曲线的正中间，那么从负无穷到0之间的曲线面积就是整个标准正态分布曲线下面积的一半，如下所示：pnorm 函数还能使用 lower.tail 参数，如果 lower.tail 设置为 FALSE ，那么 pnorm() 函数返回的积分就是从 q 到正无穷区间的PDF下的曲线面积，因此我们就知道了， pnorm(q) 与 1-pnorm(q,lower.tail=FALSE) 的结果是一样的，如下所示： 在计算机出现之前的时代里，统计学家们使用正态分布进行统计时，通常是要查正态分布表的，但是，在计算机时代，通常都不使用正态分布表了，在R中， pnorm() 这个函数完全可以取代正态分布表了，现在我们使用一个Z-scores的向量来计算一下相应的累积概率，如下所示： 以上就是标准正态分布的 累积分布函数(CDF,Cumulative Distribution Function) 曲线。 简单来说， qnorm 是正态分布 累积分布函数(CDF,Cumulative Distribution Function） 的反函数，也就是说它可以视为 pnorm 的反函数，这里的 q 指的是quantile，即分位数。 使用 qnorm 这个函数可以回答这个问题：正态分布中的第p个分位数的Z-score是多少？ 现在我们来计算一下，在正态分布分布中，第50百分位数的Z-score是多少，如下所示： 再来看一个案例：在正态分布中，第96个百分位的Z-score是多少，如下所示： 再来看一个案例：在正态分布中，第99个百分位的Z-score是多少，如下所示： 再来看一下 pnorm() 这个函数，如下所示： 从上面我们可以看到， pnorm 这个函数的功能是，我们知道某个Z-score是多少，它位于哪个分位数上。 接着我们进一步举例来说明一下 qnorm 和 pnorm 的具体功能，如下所示： 现在进行绘图，如下所示：rnomr() 函数的功能用于生成一组符合正态分布的随机数，在学习各种统计学方法时， rnorm 这个函数应该是最常用的，它的参数有 n , mean ， sd ，其中n表示生成的随机数，mean与sd分别表示正态分布的均值与标准差，现在举个例子，如下所示： 现在我们绘制一下上面的几个向量的直方图，看一下它们的均值是否在70附近，如下所示： 在R语言中，生成不同分布的各种类型的函数都是以d,p,q,r开头的，使用原理跟上面的正态分布都一样。sample() 函数是一个用于生成随机数的重要的核心函数，如果仅传递一个数值n给它，就会返回一个从1到n的自然数的排列，如果传递是 n:m 就是生成从n到m的随机数，如是是 7,5 ，则会生成5个小于7的随机数，如下所示： 从上面的结果可以看出来，这些数字都是不同的，也就是说，sample函数默认情况下是不重复抽样，每个值只出现一次，如果允许有重复抽样，需要添加参数 replace = TRUE ，如下所示： sample函数通常会从某些向量中随机挑一些参数，如下所示： 也可以挑日期，如下所示： 上述分布函数前面加上r，p、q、d就可以表示相应的目的：

输入为一个vector，我们以a <- seq(1, 250, 1)做为示例数据

利用qqnorm函数直接绘制出了如下正态检验qq图

还可以进一步使用qqline命令在qq图上加上标准直线

注：qqline的默认算法为向量a上四分位数和下四分位数对应两个点的连线

Step 1： 首先我们算出vector中每一个数对应的百分位数

  在向量a中，数字1对应的累积比例（即小于等于数字1的频率）为1/length(a) = 0.04，数字250对应的累积比例为250/length(a) = 100%

  

Step 2： 根据累积比例数计算出正态分布对应的百分位数值

  直接绘制点图即为qqplot图

  

Step 3： 可以查看一下q值发现，最后的q值为Inf

  这是因为百分位100%对应的正态分布数值为无穷大，所以最后得出的图与R自带的qqnorm的稍微有一点点区别，这是因为在内置的qqnorm函数中对累积百分数进行了调整，为了避免inf的出现，使用 t <- (rank(a) -0.5)/length(a) 调整后得出的结果与qqnorm的结果图就完全一致了。

 

Step 4： 绘制标准直线

  如果是依据标准正态分布做的qq图，则标准直线截距为mean(a)，斜率为sd(a)

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  如果是依据(mean(a), var(a))正态分布做的qq图，则标准直线为y=x

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pp plot横轴为实际累积概率，即上文qq plot中的变量t

纵轴为期望累积的概率，标准直线为 y=x

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结果大致呈一条直线则说明大致服从正态分布

快速计算累积百分数的方法：

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参考：

https://wenku.baidu.com/view/c661ebb365ce050876321319.html

http://data.library.virginia.edu/understanding-q-q-plots/

http://www.cnblogs.com/xianghang123/archive/2012/08/08/2628623.html

https://d.cosx.org/d/18521-18521

ks.test()实现了KS检验，可以检验任意样本是不是来自给定的连续分布。你这里的用法就是：ks.test(data,pt,df=df) #data是样本的数据，df是要检验的t分布的自由度我们可以用很多方法分析一个单变量数据集的分布。最简单的办法就是直接看数字。利用函数summary 和fivenum 会得到两个稍稍有点差异的汇总信息。此外，stem(\茎叶"图)也会反映整个数据集的数字信息。>attach(faithful)>summary(eruptions)Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.1.600 2.163 4.000 3.488 4.454 5.100>fivenum(eruptions)[1] 1.6000 2.1585 4.0000 4.4585 5.1000>stem(eruptions)The decimal point is 1 digit(s) to the left of the |16 | 07035555558818 | 00002223333333557777777788882233577788820 | 0000222337880003577822 | 000233557802357824 | 0022826 | 2328 | 08030 | 732 | 233734 | 25007736 | 000082357738 | 233333558222557740 | 000000335778888800223355557777842 | 0333555577880023333355557777844 | 0222233555778000000002333335777888846 | 000023335770000002357848 | 0000002233580033350 | 0370茎叶图和柱状图相似，R 用函数hist 绘制柱状图。>hist(eruptions)>## 让箱距缩小，绘制密度图>hist(eruptions, seq(1.6, 5.2, 0.2), prob=TRUE)>lines(density(eruptions, bw=0.1))>rug(eruptions) # 显示实际的数据点更为精致的密度图是用函数density 绘制的。在这个例子中，我们加了一条由density 产生的曲线。你可以用试错法（trial-and-error）选择带宽bw（bandwidth）因为默认的带宽值让密度曲线过于平滑（这样做常常会让你得到非常有\意思"的密度分布）。(现在已经有一些自动的带宽挑选方法2，在这个例子中bw = "SJ"给出的结果不错。)我们可以用函数ecdf 绘制一个数据集的经验累积分布（empirical cumulativedistribution）函数。>plot(ecdf(eruptions), do.points=FALSE, verticals=TRUE)显然，这个分布和其他标准分布差异很大。那么右边的情况怎么样呢，就是火山爆发3分钟后的状况？我们可以拟合一个正态分布，并且重叠前面得到的经验累积密度分布。>long <- eruptions[eruptions >3]>plot(ecdf(long), do.points=FALSE, verticals=TRUE)>x <- seq(3, 5.4, 0.01)>lines(x, pnorm(x, mean=mean(long), sd=sqrt(var(long))), lty=3)分位比较图（Quantile-quantile (Q-Q) plot）便于我们更细致地研究二者的吻合程度。par(pty="s") # 设置一个方形的图形区域qqnorm(long)qqline(long)上述命令得到的QQ图表明二者还是比较吻合的，但右侧尾部偏离期望的正态分布。我们可以用t 分布获得一些模拟数据以重复上面的过程x <- rt(250, df = 5)qqnorm(x)qqline(x)这里得到的QQ图常常会出现偏离正态期望的长尾区域(如果是随机样本)。我们可以用下面的命令针对特定的分布绘制Q-Q图qqplot(qt(ppoints(250), df = 5), x, xlab = "Q-Q plot for t dsn")qqline(x)最后，我们可能需要一个比较正规的正态性检验方法。R提供了Shapiro-Wilk 检验>shapiro.test(long)Shapiro-Wilk normality testdata: longW = 0.9793, p-value = 0.01052和Kolmogorov-Smirnov 检验>ks.test(long, "pnorm", mean = mean(long), sd = sqrt(var(long)))One-sample Kolmogorov-Smirnov testdata: longD = 0.0661, p-value = 0.4284alternative hypothesis: two.sided(注意一般的统计分布理论（distribution theory）在这里可能无效，因为我们用同样的样本对正态分布的参数进行估计的。)转载于： http://www.biostatistic.net/thread-2413-1-1.html

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