类型：字符串
方法：动态规划
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给定一个字符串 s ，找到其中最长的回文子序列，并返回该序列的长度。可以假设 s 的最大长度为 1000 。
示例 1:
输入:
"bbbab"
输出:
4
一个可能的最长回文子序列为 "bbbb"。
示例 2:
输入:
"cbbd"
输出:
2
一个可能的最长回文子序列为 "bb"。
提示：
1 <= s.length <= 1000
s 只包含小写英文字母
这道题使用动态规划来做。
定义：设输入字符串s的长度为n，设dp矩阵为nxn维，dp[i][j]表示以下标i开始，以下标j结尾的子串中最长回文子序列的长度。i<=j
初始化：设置dp矩阵为对角阵，即对角线处的所有元素为1，其他元素填充为0，因为当i=j时，选中的子串只包含一个字符。
递推公式：分两种情况，
第一，从下标i+1到j-1的串左右两头均各增加一个字符，如果新增的两个字符一致，也就是s[i]==s[j]，那么将从下标i+1到j-1的串对应的最长回文子序列的长度加2即可，也就是dp[i][j]=dp[i+1]dp[j-1]+2
第二，如果新增的两个字符不等，也就是s[i]!=s[j]，那么选取dp[i+1][j]和dp[i][j-1]中更大的数作为dp[i][j]即可。
这里需要注意的是，为了保证每次递推都可以取到该有的值，外层遍历应该逆序，内层遍历应该顺序进行。
返回值：最终返回dp[0][n-1]即可。
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“回文”是指正读反读都能读通的句子，它是古今中外都有的一种修辞方式和文字游戏，如“我为人人，人人为我”等。在数学中也有这样一类数字有这样的特征，成为回文数（palindrome number）。
设n是一任意自然数。若将n的各位数字反向排列所得自然数n1与n相等，则称n为一回文数。例如，若n=1234321，则称n为一回文数；但若n=1234567，则n不是回文数。
注意：
1.偶数个的数字也有回文数124421
2.小数没有回文数
基本介绍 中文名 ：回文数 外文名 ：palindrome number 定义 ：正读倒读都一样的整数 基本情况,1千以内的回文数,平方回数,举例说明,研究现状,回文数算法,对回文数的探索过程,编程实现,JAVA源程式,用visual basic6.0,用C语言编程,python源程式,求最长回文数长度的manacher算法（O(n)）, 基本情况1千以内的回文数 在自然数中，最小的回文数是0，其次是1,2,3,4,5,6,7,8,9,11,22,33,44,55,66,77,88,99,101,111,121,131,141,151,161,171,181,191,202,212,222,232,242,252,262,272,282,292,303,313,323,333,343,353,363,373,383,393,404,414,424,434,444,454,464,474,484,494,505,515,525,535,545,555,565,575,585,595,606,616,626,636,646,656,666,676,686,696,707,717,727,737,747,757,767,777,787,797,808,818,828,838,848,858,868,878,888,898,909,919,929,939,949,959,969,979,989,999.平方回数 定义：一个回文数，它同时还是某一个数的平方，这样的数字叫做 平方回数 。例如：121。 100以上至1000以内的 平方回数 只有3个，分别是：121、484、676。 其中，121是11的平方。 484是22的平方，同时还是121的4倍。 676是26的平方，同时还是169的4倍。举例说明 任意某一个数通过以下方式相加也可得到 如：29+92=121 还有 194+491=685，586+685=1271，1271+1721=2992 不过很多数还没有发现此类特征（比如196,下面会讲到） 另外个别平方数是回文数 1的平方=1 11的平方=121 111的平方=12321 1111的平方=1234321 …… …… 依次类推 3×51=153 6×21=126 4307×62=267034 9×7×533=33579 上面这些算式,等号左边是两个(或三个)因数相乘,右边是它们的乘积。如果把每个算式中的“×”和“=”去掉，那么，它们都变成回文数，所以，我们不妨把这些算式叫做“回文算式”。还有一些回文算式，等号两边各有两个因数。请看： 12×42=24×21 34×86=68×43 102×402=204×201 1012×4202=2024×2101 不知你是否注意到，如果分别把上面的回文算式等号两边的因数交换位置，得到的仍是一个回文算式，比如：分别把“12×42=24×21”等号两边的因数交换位置，得到算式是： 42×12=21×24 这仍是一个回文算式。 还有更奇妙的回文算式，请看： 12×231=132×21（积是2772） 12×4032=2304×21（积是48384） 这种回文算式，连乘积都是回文数。 四位的回文数有一个特点，就是它决不会是一个质数。设它为abba，那它等于a*1000+b*100+b*10+a，1001a+110b。能被11整除。 六位的也一样，也能被11整除 还有，人们借助电子计算机发现，在完全平方数、完全立方数中的回文数，其比例要比一般自然数中回文数所占的比例大得多。例如11^2=121，22^2=484，7^3=343,11^3=1331，11^4=14641……都是回文数。研究现状 人们迄今未能找到自然数(除0和1)的五次方，以及更高次幂的回文数。于是数学家们猜想：不存在n^k(n≥2,k≥5n、k均是自然数)形式的回文数。 在电子计算器的实践中，还发现了一桩趣事：任何一个自然数与它的倒序数相加，所得的和再与和的倒序数相加，……如此反复进行下去，经过有限次步骤后，最后必定能得到一个回文数。 这也仅仅是个猜想，因为有些数并不“驯服”。比如说196这个数，按照上述变换规则重复了数十万次，仍未得到回文数。但是人们既不能肯定运算下去永远得不到回文数，也不知道需要再运算多少步才能最终得到回文数。回文数算法 随意找一个十进制的数，把它倒过来成另一个数，再把这两个数相加，得一个和数，这是第一步然后把这个和数倒过来，与原来的和数相加，又得到一个新的和数，这是第二步。照此方法，一步步接续往下算，直到出现一个“回文数”为n。例如:28+82=110,110+011=121，两步就得出了一个“回文数”。如果接着算下去，还会得到更多的“回文数”。这个过程称为“196算法”。对回文数的探索过程 上而提到的196这个数，是第一个可能的“利克瑞尔数”，因而它受到了最多的关注。由于目前还不可能证明一个数永远不能形成“回文数”，所以“196和其他那些(看起来)不能形成回文数的数是利克瑞尔数”这一命题仅是猜想而非已获证明。能证明的仅是那些反例，即如果一个数最终能形成“回文数”，则它不是“利克瑞尔数”。 在电子计算机尚未问世的1938年，美国数学家莱默(D. Lehmer,1905-1991)计算到了第73步，得到了一个没有形成“回文数”的35位的和数。至今挑战此题的数学爱好者从没有间断过，并随着计算机科技的发展，不断有发烧友编写不同的程式对此题发起挑战。据笔者最新调查，领军人W.V.Landingham到2006年2月已经计算到了699万步，得到了一个2.89亿位以上的和数，之间的结果仍未出现“回文数”。 另外介绍一个关于达到“回文数”需要计算步数的世界记录。它是一个19位数字1,186,060,307,891,929,990,算出“回文数，，需要了261步。它是由Jason Doucette的算法及程式于2005年11月30日发现的。下表列举的是各位数字中，到达“回文数”花费步数最多的代表性数字。 编程实现JAVA源程式 publilassPlalindrome{publicstaticvoidmain(String[]args){System.out.println("11is"+(isPlalindrome(11)?"":"not")+"Plalindromenumber")System.out.println("123is"+(isPlalindrome(123)?"":"not")+"Plalindromenumber")System.out.println("17251is"+(isPlalindrome(17251)?"":"not")+"Plalindromenumber")System.out.println("2882is"+(isPlalindrome(2882)?"":"not")+"Plalindromenumber")}publicstaticbooleanisPlalindrome(intnumber){此方法实现判断数字是不是回文数Stringnum=String.valueOf(number)returnnewStringBuffer(num).reverse().toString().equalsIgnoreCase(num)}}--------------- 11 is Plalindrome number 123 is not Plalindrome number 17251 is not Plalindrome number 2882 is Plalindrome number用visual basic6.0 for i = 100 to 99999 '这里从100开始 后面可以随便填，我这里填99999 表示所有3位数到五位数之间的回文数 if StrReverse(i)=i then print i '用StrReverse函式 判断倒序后的数和原来数是否相同，如果相同者表示此数为回文数 next用C语言编程 #include<stdio.h>intx,yseparate(int*data,intn){ inti,j y=0 while(n!=0) { *(data+y)=n%10n=n/10y++ } *(data+y)='\0' for(i=0,j=y-1i<=ji++,j--) { if(*(data+i)!=*(data+j)){ printf("%d不是回文!!!\n",x)break } } if(i ==y-1) printf("是回文数")}voidmain(){inta[99]printf("请输入一个正整数：")scanf("%d",&x)separate(a,x)} 另外一种实现方法（c++）更简便#include<iostream> using namespace std bool symm(long m) { long temp = m,n=0 while (temp) { n = n*10+temp%10 temp = temp/10 } return (m == n) } int main(int argc, _TCHAR* argv[]) { long m cout<<"请输入一个整数：" cin>>m cout<<"输入了"<<symm(m)<<"个回文数！" return 0 }python源程式 #coding:--utf-8-- #-*-coding:cp936-*-classHws: def__init__(self): self.result=[] defhWs(self): forainrange(1,10000): b=str(a) foriinrange(0,len(b)/2+1): ifb[i]==b[len(b)-i-1]: self.result.append(a) printself.result hws=Hws() hws.hWs() 求最长回文数长度的manacher算法（O(n)） #include<iostream>#include<cstdio>#include<cstdlib>#include<cstring>#include<string>#include<queue>#include<algorithm>#include<map>#include<iomanip>#defineINF99999999usingnamespacestdconstintMAX=110000+10chars[MAX*2]intp[MAX*2]intmain(){ while(scanf("%s",s)!=EOF){ intlen=strlen(s),id=0,maxlen=0 for(inti=leni>=0--i){插入'#' s[i+i+2]=s[i] s[i+i+1]='#' }插入了len+1个'#',最终的s长度是1~len+len+1即2*len+1,首尾s[0]和s[2*len+2]要插入不同的字元 s[0]='*'s[0]='*',s[len+len+2]='\0',防止在while时p[i]越界 for(inti=2i<2*len+1++i){ if(p[id]+id>i)p[i]=min(p[2*id-i],p[id]+id-i) elsep[i]=1 while(s[i-p[i]]==s[i+p[i]])++p[i] if(id+p[id]<i+p[i])id=i if(maxlen<p[i])maxlen=p[i] } cout<<maxlen-1<<endl } return0}
给你一个字符串 s，找到 s 中最长的回文子串。
题目难度: , 中等
示例 1：
示例 2：
提示：
1、动态规划
主要思路:
执行结果分析:
时间复杂度：O(n^2) 其中 n 是字符串的长度。
空间复杂度：O(n^2)。
1、Java
2、Python3
Python好慢,花了7秒
3、C++
