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电路板排列问题
问题描述
将n块电路板以最佳排列方式插入带有n个插槽的机箱中。n块电路板的不同排列方式对应于不同的电路板插入方案。设B={1, 2, …, n}是n块电路板的集合，L={N1, N2, …, Nm}是连接这n块电路板中若干电路板的m个连接块。Ni是B的一个子集，且Ni中的电路板用同一条导线连接在一起。设x表示n块电路板的一个排列，即在机箱的第i个插槽中插入的电路板编号是x[i]。x所确定的电路板排列Density (x)密度定义为跨越相邻电路板插槽的最大连线数。
例：如图，设n=8, m=5，给定n块电路板及其m个连接块：B={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，N1={4, 5, 6}，N2={2, 3}，N3={1, 3}，N4={3, 6}，N5={7, 8}其中两个可能的排列如图所示，则该电路板排列的密度分别是2，3。
左上图中，跨越插槽2和3,4和5，以及插槽5和6的连线数均为2。插槽6和7之间无跨越连线。其余插槽之间只有1条跨越连线。在设计机箱时，插槽一侧的布线间隙由电路板的排列的密度确定。因此，电路板排列问题要求对于给定的电路板连接条件(连接块)，确定电路板的最佳排列，使其具有最小密度。
问题分析
电路板排列问题是NP难问题，因此不大可能找到解此问题的多项式时间算法。考虑采用回溯法系统的搜索问题解空间的排列树，找出电路板的最佳排列。设用数组B表示输入。B[i][j]的值为1当且仅当电路板i在连接块Nj中。设total[j]是连接块Nj中的电路板数。对于电路板的部分排列x[1:i]，设now[j]是x[1:i]中所包含的Nj中的电路板数。由此可知，连接块Nj的连线跨越插槽i和i+1当且仅当now[j]>0且now[j]！=total[j]。用这个条件来计算插槽i和i+1间的连线密度。
重点难点
算法具体实现如下：
//电路板排列问题 回溯法求解
#include "stdafx.h"
#include <iostream>
#include <fstream>
using namespace std
ifstream fin("5d11.txt")
class Board
{
friend int Arrangement(int **B, int n, int m, int bestx[])
private:
void Backtrack(int i,int cd)
int n, //电路板数
m, //连接板数
*x, //当前解
*bestx,//当前最优解
bestd, //当前最优密度
*total, //total[j]=连接块j的电路板数
*now, //now[j]=当前解中所含连接块j的电路板数
**B //连接块数组
}
template <class Type>
inline void Swap(Type &a, Type &b)
int Arrangement(int **B, int n, int m, int bestx[])
int main()
{
int m = 5,n = 8
int bestx[9]
//B={1,2,3,4,5,6,7,8}
//N1={4,5,6},N2={2,3},N3={1,3},N4={3,6},N5={7,8}
cout<<"m="<<m<<",n="<<n<<endl
cout<<"N1={4,5,6},N2={2,3},N3={1,3},N4={3,6},N5={7,8}"<<endl
cout<<"二维数组B如下："<<endl
//构造B
int **B = new int*[n+1]
for(int i=1 i<=n i++)
{
B[i] = new int[m+1]
}
for(int i=1 i<=n i++)
{
for(int j=1 j<=m j++)
{
fin>>B[i][j]
cout<<B[i][j]<<" "
}
cout<<endl
}
cout<<"当前最优密度为:"<<Arrangement(B,n,m,bestx)<<endl
cout<<"最优排列为："<<endl
for(int i=1 i<=n i++)
{
cout<<bestx[i]<<" "
}
cout<<endl
for(int i=1 i<=n i++)
{
delete[] B[i]
}
delete[] B
return 0
}
//核心代码
void Board::Backtrack(int i,int cd)//回溯法搜索排列树
{
if(i == n)
{
for(int j=1 j<=n j++)
{
bestx[j] = x[j]
}
bestd = cd
}
else
{
for(int j=i j<=n j++)
{
//选择x[j]为下一块电路板
int ld = 0
for(int k=1 k<=m k++)
{
now[k] += B[x[j]][k]
if(now[k]>0 && total[k]!=now[k])
{
ld ++
}
}
//更新ld
if(cd>ld)
{
ld = cd
}
if(ld<bestd)//搜索子树
{
Swap(x[i],x[j])
Backtrack(i+1,ld)
Swap(x[i],x[j])
//恢复状态
for(int k=1 k<=m k++)
{
now[k] -= B[x[j]][k]
}
}
}
}
}
int Arrangement(int **B, int n, int m, int bestx[])
{
Board X
//初始化X
X.x = new int[n+1]
X.total = new int[m+1]
X.now = new int[m+1]
X.B = B
X.n = n
X.m = m
X.bestx = bestx
X.bestd = m+1
//初始化total和now
for(int i=1 i<=m i++)
{
X.total[i] = 0
X.now[i] = 0
}
//初始化x为单位排列并计算total
for(int i=1 i<=n i++)
{
X.x[i] = i
for(int j=1 j<=m j++)
{
X.total[j] += B[i][j]
}
}
//回溯搜索
X.Backtrack(1,0)
delete []X.x
delete []X.total
delete []X.now
return X.bestd
}
template <class Type>
inline void Swap(Type &a, Type &b)
{
Type temp=a
a=b
b=temp
}
算法效率
在解空间排列树的每个节点处，算法Backtrack花费O(m)计算时间为每个儿子节点计算密度。因此计算密度所消耗的总计算时间为O(mn!)。另外，生成排列树需要O(n!)时间。每次更新当前最优解至少使bestd减少1，而算法运行结束时bestd>=0。因此最优解被更新的额次数为O(m)。更新最优解需要O(mn)时间。综上，解电路板排列问题的回溯算法Backtrack所需要的计算时间为O(mn!)。
程序运行结果为：
/**组合 回溯
*a为源数据，调用时用f(a,0,"")
*/
void f(int[] a,int n,String v){
if(n==a.length){
System.out.println(v)
}else{
f(a,n+1,v)
f(a,n+1,v+","+a[n])
}
}
