求问，设a，b为n维非零列向量，则R（abT）=？ bT的意思是b的转置

Python015

求问，设a，b为n维非零列向量，则R（abT）=？ bT的意思是b的转置,第1张

设A=(a1,a2,.......an)^T，B=(b1,b2,......bn)^T则AB^T=a1b1 a1b2 a1b3 ...... a1bn a2b1 a2b2 a2b3 ...... a2bn ............ anb1 anb2 anb3 ...... anbn注意任何一个2*2的子矩阵 aibj aibk asbj asbk其行列式都为0 所以任何一个k(大于等于2)级子式均等于0所以AB^T 的秩<2当某个aibj不等于0时，AB^T的秩为1否则所有aibj均为0，AB^T的秩为0

a,b是单位列向量， a转置与b相乘 意味着 a与b正交。 所以通过旋转可以使得a --->e1 = (1,0,0)^T, b ---->e2 = (0,1,0)^T, 即 存在单位正交矩阵 M 使得 Ma=e1, Mb=e2, 于是 ab^T = (M^Te1)(e2^T M)= M^T (0, 1, 00,0,00,0,0)M, r(ab^T) = r(M^T (0, 1, 00,0,00,0,0)M)=r((0, 1, 00,0,00,0,0))=1.类似，ba^T = M^T (0, 0, 00,1,00,0,0)M, r(ba^T) = r(M^T (0, 0, 00, 1,00,0,0)M)=r((0, 0, 00,1,00,0,0))=1.所以 r(ab^T)+r(ba^T)=2

必要性：令b=(b1,b2…bn)则A=(ab1,ab2,…abn),设A中某一列向量abi!=0,则A中的其他列向量都可以用abi表示 所以R(A)=1.充分性：设A=(β1,β2,…βn)且其中某一向量βi!=0,则由R(A)=1可知A中其它向量都可由它线性表示,即A=（k1βi…ki-1βi,βi,ki+1βi…knβi)A=βi(k1,k2,…ki-1,1,ki+1…kn)=abT其中列向量a=βi行向量（k1,…1…kn)=bT 所以得证 参考： https://www.zybang.com/question/1d79aa0e7415e99b791f560d8db6886c.html