∫r√(a²-r²) dr
=∫（-1/2）√(a²-r²) d(a²-r²) 积分变量替换
=-(1/2)*(2/3) (a²-r²)^(3/2) 幂的积分公式
=-(1/3)*(a²-r²)^(3/2)
将积分限代入哟：
=-(1/3)*(a³sinΘ³) + (1/3)*a³
=a³(1-sinΘ³) /3
最后就是关于Θ的一元积分了。
∫a³(1-sinΘ³) /3 dΘ
=a³Θ/3 - ∫a³sinΘ³ /3 dΘ
=a³Θ/3 - ∫a³sinΘ（1-cos²Θ） /3 dΘ
=a³Θ/3 + ∫a³(1-cos²Θ)/3 (-sinΘ)dΘ
=a³Θ/3 + ∫a³(1-cos²Θ)/3 dcosΘ
=a³Θ/3 + a³cosΘ/3 - ∫a³cos²Θ/3 dcosΘ
=a³Θ/3 + a³cosΘ/3 - a³cos³Θ/9
代入积分限有：
a³(pi/6 - 2/9)
=a³/3 *(pi/2 - 2/3)
乘以4后就是你的答案。
烦请采纳，不懂请追问。
谢谢
三重积分的计算方法：
⑴先一后二法投影法，先计算竖直方向上的一竖条积分，再计算底面的积分。
①区域条件：对积分区域Ω无限制；
②函数条件：对f（x,y,z）无限制。
⑵先二后一法（截面法）：先计算底面积分，再计算竖直方向上的积分。
①区域条件：积分区域Ω为平面或其它曲面（不包括圆柱面、圆锥面、球面）所围成
②函数条件：f（x，y）仅为一个变量的函数。
示例：
设Ω为空间有界闭区域，f（x，y，z）在Ω上连续
(1)如果Ω关于xOy（或xOz或yOz）对称，且f（x，y，z）关于z（或y或x）为奇函数，则：
(2)如果Ω关于xOy（或xOz或yOz）对称，Ω1为Ω在相应的坐标面某一侧部分，且f（x，y，z）关于z（或y或x）为偶函数，则：
(3)如果Ω与Ω’关于平面y=x对称，则：
扩展资料
设三元函数f(x,y,z)在区域Ω上具有一阶连续偏导数，将Ω任意分割为n个小区域，每个小区域的直径记为rᵢ（i=1,2,...,n），体积记为Δδᵢ，||T||=max{rᵢ}，在每个小区域内取点f（ξᵢ，ηᵢ，ζᵢ）；
作和式Σf(ξᵢ，ηᵢ，ζᵢ)Δδᵢ，若该和式当||T||→0时的极限存在且唯一(即与Ω的分割和点的选取无关)，则称该极限为函数f(x,y,z)在区域Ω上的三重积分，记为∫∫∫f(x,y,z)dV，其中dV=dxdydz。
